85594 (640668), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых 
решений.
***********
Вывод.
1. Таким образом, случаи 9,…, 14 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.
2. Условие 1 (продолжение) нами полностью рассмотрено.
**********
Условие 2 (продолжение).
Ранее мы отмечали, что уравнение (15) симметрично для с и b, поэтому с и b могут меняться своими выражениями (C и В). Это свойство нами было названо «новым свойством 
».
В 1-й части Утверждения 1 мы рассмотрели два «Новых» случая «+» и «-».
Осталось исследовать еще 14 случаев, рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы).
********
«Новый» случай 15
(Отличающийся «новым свойством » от случая 1: с = С, b= -В, n= N, 
K)
с = - В (16-B),
b= С (17+C),
n= N (18),
K (19) - это общие решения уравнения (15), окончательным видом которых являются (это мы покажем далее) окончательные решения уравнения (15) в случае 8, т.е.
(40´), 
(38´´),
, 
(33),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Доказательство
Сумма 
имеет вид:
Учитывая (14) и (19), можно получить разность :
=> 
.
Выразим из (25) и (26) :
=> 
=> 
.
По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель 
.
Т.о., имеют вид:
, 
, а их сумма 
.
Т.к. из (8) 
, то 
=> 
.
Из (19) с учетом (29) выразим 
:
, т.е. 
.
Т.о., 
, 
, т.е.
, выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь найдем сумму с
:
т.к. , т.е. 
.
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32), получим значение для с:
,
т.к. из (29) вытекает 
.
Итак, 
.
Учитывая (34), получим 
=> 
.
Теперь, с учетом (38´´), можно получить окончательное выражение для b (из (35)):
, т.е. 
.
Таким образом, уравнение 
(15), решениями которого являются (16-B), (17+C), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения (являющиеся окончательными решениями в случае 8):
, где - взаимно простые нечетные целые числа, ч.т.д.
*********
Примечание
То, что окончательные решения в случаях 15 и 8 одинаковые, вытекает и из следующего соображения, которое используем в дальнейшем (для быстроты суждений).
Случай 15. Случай 8
с = - В (16-B), с = - С (16´),
b= С (17+C), b= В (17),
n= N (18), n= N (18),
K (19), K (19).
У этих случаев одинаковые знаки в правых частях с и b, но разные выражения (С и В), в остальном эти случаи похожи.
Соображение
Если в этих случаях решения совпадают, значит, у них надо выявить что-то общее. Этим общим свойством для них являются произведение и разность с и b.
«Общие свойства для с и b »:
сb= -СВ, с – b= -С -В, с – b=2К 
Воспользуемся свойствами корней квадратного уравнения (теоремой Виета). Имеем:
с(-b)= СВ, с+(– b)= -С -В = 2К.
Отсюда получаем квадратное уравнение
- 2К
+ С В = 0 => X1,2 = К 
,
где, например, Х1 = -b, а Х2 = с, то есть
Х1 = -b = К + =
+
= +
= + 
= -В => b = В,
где на основании 
и Х1 = - b= - 
Х2= с = К- = - = - = - = -С => с = - С,
где на основании (40´) 
и Х2 = 
Таким образом, мы получили случай 8:
Случай 8
с = - С (16´),
b= В (17),
n= N (18),
K (19),
где
, а - взаимно простые нечетные целые числа.
Теперь обозначим Х1 = с, а Х2 = - b. Тогда получим:
Х1 = с = К+ = + = + = + = -В => с = -В,
где на основании (40´) и Х1 = с = -1.
Х2 = - b = К- = - = - = - = -С => - b= -С => b = С,
где на основании и Х2 = -
Таким образом, мы получили случай 15:
Случай 15
с = -В (16-B),
b= С (17+C),
n= N (18),
K (19),
где
, а - взаимно простые нечетные целые числа.
Таким образом, одно и то же квадратное уравнение - 2К + С В = 0, дает одинаковые решения X1,2 = К (X1(2) =-
Х2(1) = -1) и для Случая 8 и для Случая 15, значит и одинаковые их окончательные решения:
, а - взаимно простые нечетные целые числа.
В этом мы непосредственно и убедились.
Следовательно, «Общие свойства для с и b » (сb= -СВ, с – b= -С -В, с – b= 2К) действительно определяют Случаи 15 и 8, имеющие одинаковые знаки у с и b и отличающиеся друг от друга у них выражениями (С и В), а, значит, и одинаковый вид их окончательных решений. Этой похожестью с и b, их отличием друг от друга и вышерассмотренными «Общими свойствами для с и b » мы воспользуемся при рассмотрении последующих случаев.
*********
Вывод (критерий одинаковости окончательных решений).
Если в каких-либо двух случаях наблюдаются вышерассмотренные «Общие свойства для с и b » ( сb = const´ , с – b = const´´, с – b = const´´´ ), то в этих случаях окончательные решения имеют одинаковый вид.
*********
«Новый» случай 16
(Отличающийся «новым свойством » от случая 2: с = - С, b= В, n = -N, -K)
Случай 16. Случай 7.
с = В с = С
b= -С b= -В
n = -N n = -N
-K -K
Окончательные решения в случае 7:
(40), 
(38´´´),
(41´), 
(33´),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b » (сb= - СВ = const´, с – b= С+В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 16 и 7 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(40), (38´´´),
(41´), (33´),
где - взаимно простые нечетные целые числа, являющиеся и окончательными решениями уравнения (15) в случае 7.
********
«Новый» случай 17
(Отличающийся « новым свойством » от случая 3: с = С, b= -В, n = N, -K)
Случай 17. Случай 6.
с = - В (16-B), с = - С (16´),
b= С (17+C), b= В (17),
n= N (18), n= N (18),
-K (19´), -K (19´).
Окончательные решения в случае 6:
(40´), 
(38),
(41´), (33´),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b » (сb= - СВ = const´, с – b= -С –В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 17 и 6 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(40´), (38),
(41´), (33´),
где - взаимно простые целые нечетные числа.
*********
«Новый» случай 18
(Отличающийся «новым свойством » от случая 4: с = - С, b= В, n =- N, K)
Случай 18. Случай 5.
с = В (16+B), с = С (16),
b=- С (17-C), b= -В (17´),
n=- N (18´), n= -N (18´),
K (19), K (19).
Окончательные решения в случае 5:
(40), 
(38´),
(41), ,
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b » (сb= - СВ = const´, с – b= С +В = const´´, с – b= 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 18 и 5 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(41), ,
где - взаимно простые нечетные целые (40), (38´), числа.
********
«Новый» случай 19
(Отличающийся «новым свойством » от случая 5: с = С, b=- В, n =- N, K)
Случай 19. Случай 4.
с = - В (16-B), с = - С (16´),
b= С (17+C), b= В (17),
n=- N (18´), n= -N (18´),
K (19), K (19)
Окончательные решения в случае 4:
(39´´´), (38´´´),
(37´), (33),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b » (сb= - СВ = const´, с – b= -С - В = const´´, с – b= 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 19 и 4 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(39´´´), (38´´´),
(37´), (33),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
********
«Новый» случай 20
(Отличающийся «новым свойством » от случая 6: с = - С, b= В, n = N, -K)
Случай 20. Случай 3.
с = В (16+B), с = С (16),
b= -С (17-C), b= -В (17´),
n= N (18), n= N (18),
-K (19´), -K (19´).
Окончательные решения в случае 3:
(39´´), (38´´),
, (33´),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b » (сb= - СВ = const´, с – b= С + В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 20 и 3 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(39´´), (38´´), где - взаимно простые нечетные
, (33´), целые числа.
********
«Новый» случай 21
(Отличающийся «новым свойством » от случая 7: с = С, b= -В, n = -N, -K)
Случай 21. Случай 2.
с = -В (16-B), с = - С (16´),
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
