181121 (Линейные автоматические системы регулирования), страница 5

Проведем более точное исследование И – регулятора при частоте:

-диапазон изменения частоты;

Таблица 15 – Результаты расчёта параметров настройки И – регулятора по расширенным частотным характеристикам

Коэффициент передачи И – регулятора , будем выбирать, при нулевой фазовой составляющей. Таким образом, при ,

5.3 ПИ – регулятор

5.3.1 Расчёт ПИ – регулятора вручную

Для ПИ – регулятора передаточная характеристика имеет вид:

Заменив комплексную переменную , на , получим выражение вида:

Отсюда выразим действительные и мнимые части:

Выразим и :

Найдем численные значения и для ряда частот, результаты сведем в таблицу.

Таблица 16 – Результаты вычислений

0	1	0	0	-1
0,1	1,195	-0,485	-0,031	-0,783
0,2	1,241	-1,198	-0,084	-0,506
0,5	0,345	-1,152	-0,418	-0,415
1	0,12	-0,289	-3,098	-1,879

5.3.2 Расчёт ПИ – регулятора в системе MathCAD

- степень колебательности;

-диапазон изменения частоты;

-замена p на комплексную переменную iw;

-передаточная функция объекта;

-действительная составляющая;

-мнимая составляющая;

-знаменатель;

-фаза;

-действительная составляющая регулятора;

-мнимая составляющая регулятора;

-коэффициент передачи И – регулятора.

-коэффициент передачи П – регулятора.

Таблица 17 – Результаты расчёта параметров настройки ПИ–регулятора по расширенным частотным характеристикам

Рисунок 12.1 – АЧХ

Рисунок 12.2 – , ПИ – регулятора

Проведем более точное исследование ПИ – регулятора при частоте:

-диапазон изменения частоты;

Таблица 18 – Результаты расчёта параметров настройки ПИ–регулятора по расширенным частотным характеристикам

Коэффициенты передачи ПИ – регулятора и , будем выбирать, при максимальном значении коэффициента передачи И – составляющей. Таким образом, при: , , .

Для дальнейших расчетов выберем коэффициенты , , :

Таблица19 – Значения коэффициентов передачи для различного типа регуляторов

Коэффициент передачи	Вид регулятора:
	П	И	ПИ
	---	0,374	0,710
	1,537	---	0,861

6 ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

6.1 Разомкнутые системы

Разомкнутыми системами называются такие системы, в которых отсутствует обратная связь между выходом объекта и входом устройства управления.

Различают разомкнутые системы автоматического управления, у которых управление осуществляют по задающему извне воздействию, а также системы, где управление осуществляется по возмущению. Наиболее перспективными являются системы, управление которых производят по задающему воздействию и по возмущению.

Структурная схема разомкнутой САУ изображена на рисунке 14.

Рисунок 13 – Структурная схема разомкнутой системы

Передаточной функцией такой системы будет следующее выражение:

,

Где:

- передаточная функция объекта,

- передаточная функция регулятора.

В нашем случае передаточная функция объекта имеет вид:

Передаточные функции регуляторов:

1. Для П – регулятора:

.

1. Для И – регулятора:

.

1. Для ПИ – регулятора:

.

6.2 Замкнутые системы

В этих системах устройство управления исключает все отклонения выходной величины, вызванные любыми возмущениями, а также внешними и внутренними помехами. Замкнутая система представляет собой замкнутый контур из устройства управления и объекта. При этом имеется обратная связь, связывающая выход системы с входом. Ее наличие и обуславливает почти стопроцентную точность управления.

Структурная схема замкнутой САУ изображена на рисунке 15:

Рисунок 14 – Структурная схема замкнутой системы

Передаточной функцией такой системы будет следующее выражение:

1. по возмущению

;

1. по управлению

.

Подставив все известные выражения передаточных функций объекта регулирования и регуляторов, получим передаточные функции систем с различными регуляторами:

-c П – регулятором:

- c И – регулятором:

;

- c ПИ – регулятором:

7 ИССЛЕДОВАНИЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

7.1 Постановка задачи

Система автоматического регулирования как динамическая система, характеризуется переходным процессом, возникающем в системе при нарушении ее равновесия любым возмущением. Основной динамической характеристикой системы регулирования является ее устойчивость или неустойчивость.

Исследование замкнутых АСР на устойчивость предполагает получение ответов на следующие вопросы. Является ли система с рассчитанным регулятором устойчивой, то есть, возвращается ли она в состояние равновесия при наличии возмущений? Какие из параметров системы (объекта и регулятора) и каким образом влияют на устойчивость? При каких предельных значениях параметров система становится неустойчивой? Каков запас устойчивости системы при заданных значениях параметров?

7.2 Методы исследования САУ на устойчивость

Для исследования на устойчивость замкнутых САУ разработано множество методов:

определение устойчивости по корням характеристического уравнения, по критерию Гурвица, по критерию Рауса, по частотному критерию Михайлова, по частотному критерию Найквиста и другие.

Передаточную функцию замкнутой системы можно представить в виде:

,

Где и - полиномы по степеням .

Уравнение - характеристическое уравнение системы, описывающее невозмущенное состояние.

Если все действительные корни характеристического уравнения и действительные части комплексных корней будут отрицательны, то система под воздействием любого возмущения, после его снятия, возвратится в исходное состояние, а значит, система будет устойчивой.

Критерий Гурвица

При оценке устойчивости из коэффициентов характеристического уравнения составляется определитель Гурвица вида:

Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы полный определитель Гурвица и все частные определители, образованные вычеркиванием соответствующих строк и столбцов были одного знака с .

Критерий Рауса

Для проверки устойчивости составляется таблица коэффициентов по правилам, приведенным в таблице 20.

Таблица 20 – Критерий Рауса

---
---

Система будет устойчива, если все коэффициенты таблицы Рауса положительны, то есть , , , , и так далее. Если в характеристическом уравнении , то умножаем все коэффициенты исходного характеристического уравнения на -1.

Критерий Михайлова

При исследовании устойчивости строится годограф характеристического уравнения замкнутой системы. Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф при изменении частоты от 0 до , начиная с положительной действительной полуоси и двигаясь против часовой стрелки, последовательно проходил квадрантов (где – порядок полинома), нигде не обращаясь в нуль.

Критерий устойчивости Найквиста

Данный критерий формулируется следующим образом: если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывала точку на действительной оси с координатами . Расстояние от этой точки до точки пересечения годографа с действительной осью называется запасом устойчивости.

Необходимо отметить, что при исследованиях на устойчивость по критериям Михайлова и Найквиста рассчитываются и строятся графики АФХ характеристического уравнения (критерий Михайлова) или разомкнутой АСР (критерий Найквиста), что является трудоемкой задачей. Поэтому для построения АФХ используется ЭВМ.

7.3 Проверка устойчивости САУ по критерию Рауса

7.3.1 Замкнутая система с П – регулятором

Для замкнутой системы с П – регулятором составим таблицу 21, подставив в соответствующие ячейки коэффициенты при из знаменателя передаточной характеристики системы: