116278 (Формування та розвиток математичних здібностей), страница 3

Здібності - це не навики і уміння, а ті індивідуально-психологічні особливості, від яких заві легке і успішне оволодіння уміннями і навиками у відповідній діяльності.

Загальна схема структури математичних здібностей в шкільному віці представляється таким чином (розглядати її будемо, як і раніше, виходячи з основних етапів вирішення завдань):

1. Отримання математичної інформації

а) Здібність до формалізованого сприйняття математичного матеріалу, схоплювання формальної структури завдання.

2. Переробка математичної інформації

а) Здібність до логічного мислення у сфері кількісних і просторових стосунків, числовою і знаковою символіки. Здатність мислити математичними символами.

б) Здібність до швидкого і широкого узагальнення математичних об'єктів, стосунків і дій.

в) Здібність до згортання процесу математичного, міркування і системи відповідних дій. Здатність мислити згорнутими структурами

г) Гнучкість розумових процесів в математичній діяльності

д) Прагнення до ясності, простоти, економності ірраціональності рішень.

е) Здібність до швидкої скованої перебудови спрямованості розумового процесу перемиканню з прямого на зворотний хід думки (оборотність розумового процесу при математичному міркуванні).

3. Зберігання математичної інформації

а) Математична пам'ять (узагальнена пам'ять на, математичні стосунки, типові характеристики, схеми і доказів, методи вирішення завдань і принципи підходу до них.)

4. Загальний синтетичний компонент

а) Математична спрямованість розуму.

Виділені компоненти тісно зв'язані, впливають один на одного і утворюють в своїй сукупності єдину систему, цілісну структуру, своєрідний синдром математичної обдарованості, математичний склад розуму.

Не входять в структуру математичної обдарованості .те компоненти, наявність яких в цій структурі не обов'язково (хоча і корисно). У цьому сенсі вони є нейтральними по відношенню до математичної обдарованості. Проте їх наявність або відсутність в структурі (точніше, ступінь розвитку) визначають тип математичного складу розуму. Не є обов'язковими в структурі математичної обдарованості наступні компоненти:

Швидкість розумових процесів як тимчасова характеристика. Індивідуальний темп роботи не грає вирішального значення. Математик може роздумувати неквапливо, навіть поволі, але дуже докладно і глибоко.

Обчислювальні здібності (здібності до швидких і точних обчислень, часто в думці). Відомо, що є люди, здатні проводити в думці складні математичні обчислення (майже миттєве зведення в квадрат і куб тризначних чисел, витягання кубічного кореня з шестизначних чисел), але не уміючі вирішити скільки-небудь складного завдання. Відомо також, що існували і існують феноменальні «лічильники», не що дали математиці нічого, а видатний французький математик А. Пуанкаре писав про себе, що без помилки не може зробити навіть додавання.

Пам'ять на цифри, числа, формули. Як указував академік А. Н. Колмогоров, багато видатних математиків не володіли видатною пам'яттю такого роду.

Здібність до просторових уявлень.

Здатність наочно представити абстрактні математичні стосунки і залежності.

Слід підкреслити, що схема структури математичних здібностей має на увазі математичні здібності школяра. Не можна заздалегідь, до спеціального вивчення, сказати, якою мірою її можна вважати за загальну схему структури математичних здібностей, якою мірою її можна віднести до обдарованих математиків, що цілком склалися.

Зрозуміло, конкретний зміст структури здібностей неабиякою мірою залежить від методів навчання, оскільки вона складається в процесі навчання. Але встановлені нами компоненти за всіх умов повинні входити в цю структуру. Неможливе прсдставіть наприклад, щоб при якій-небудь системі навчання здібність до узагальнення або математична пам'ять не входили в структуру математичних здібностей.

Аналізуючи схему структури математичної обдарованості, ми можемо відмітити, що певні моменти в характеристиці перцептивні, інтелектуальні і мнемічні сторони математичної діяльності мають загальне значення. Наприклад, формалізоване сприйняття завдання − це сприйняття узагальнене, згорнуте, гнучке; математична пам'ять − це пам'ять на узагальнені, згорнуті і гнучкі системи. Якщо ми говоримо про формалізоване (узагальненому) сприйняття умов завдання, то можна говорити і про формалізоване (узагальненому) рішення, про формалізоване (узагальненому) запам'ятовування. Тому розгорнену схему структури можна представити і в іншій, надзвичайно стислій формулі: математична обдарованість характеризується узагальненим, згорнутим і гнучким мисленням у сфері математичних стосунків, числової і знакової символіки і математичним складом розуму. Ця особливість математичного мислення приводить до збільшення швидкості переробки математичної інформації і, отже, економії нервово-психічних сил. В термінах асоціативної теорії це звучало б так: математичні здібності − це здібності до освіти на математичному матеріалі узагальнених, згорнутих, гнучких, і оборотних асоціацій і їх систем. Вказані здібності різною мірою виражені у здібних, середніх і нездібних учнів. У здатних за деяких умов такі асоціації утворюються «з місця», при мінімальній кількості вправ. У нездібних же вони утворюються з надзвичайною працею. Для середніх же що вчаться необхідною умовою поступового утворення таких асоціацій є система спеціально організованих вправ, тренування. Провівши первинний аналіз математичних, здібностей, отримавши уявлення про їх структуру, ми не вважаємо що на цьому дослідження компонентів математичних здібностей може бути закінчене. Необхідне поглиблення вивчення кожного компоненту з метою проникнути в його природу; виявити його фізіологічні основи.

2.2 Вікові особливості формування та розвитку математичних здібностей

У зарубіжній психології до нашого часу широко розповсюджено представлення про вікові особливості математичного розвитку школяра, які виходять з різних досліджень Ж. Піаже. В той час, як відомо, Піаже вважав, що дитина тільки до 12 років стає здатною до абстрактного мислення. Аналізуючи стадії розвитку математичного мислення підлітка, Л. Жоанно прийшов до висновку, що в наглядно-конкретному плані школяр мислить до 12 – 13 років, а мислення в плані формальної алгебри (пов’язане з володінням операціями, символами) складається лише до 17 років.

Ф. Отіа в своїй роботі також доводить, що лише з 11 – 12 років дитина починає проявляти в математиці здатність до абстракції і починає міркувати в відвернутою формі.

Дослідження радянських психологів дають зовсім інші результати. Ще П.П. Булонський писав про інтенсивний розвиток у підлітка (11 – 14 років) узагальнювального і абстрактного мислення, вміння доводити і розбиратися в доведеннях.

Останнім часом було проведено ряд досліджень деяких вікових особливостей математичного мислення школярів, в тому числі дослідження А.В. Скрипченко, О.Я. Лихачової, А.А. Бодалева. Л.Н. Проколієнко виявив деякі особливості мислення підлітка і старшого школяра в процесі розв’язування геометричних задач. Але виявляється, що Л.Н. Проколієнко дуже чітко визначив рамки віку, ігноруючи при цьому індивідуальні відмінності, - не одразу можна погодитись з таким різким поділом: учні 6-го класу відрізняються репродуктивним підходом до розв’язку задач, а 7-го класу – творчим; учні 9-го класу міркують індуктивним способом і їх мислення розвернене, а учні 10-го класу частіше використовують дедуктивний метод і міркують в скороченій формі.

Вчені досліджували розвиток математичних здібностей протягом всього періоду шкільного навчання від молодшого до старшого шкільного віку. Були досліджені вікові особливості структури математичних здібностей, специфіка прояву формуючих компонентів на різних вікових етапах в молодшому, середньому і старшому шкільному віці під впливом шкільного навчання.

Виникає запитання: в якій мірі можна говорити про математичні здібності по відношенню до учнів 1 – 2 – 3 класів?

Дослідження І.В. Дубровіної, дають можливість відповісти на це запитання наступним чином. Звичайно, не враховуючи випадки особливої обдарованості, не можна говорити про скільки-небудь сформованої структурі математичних здібностей саме для цього віку. Тому поняття «математичні здібності» умовно у застосуванні до молодших школярів – дітей 8 – 10 років, і при дослідженні компонентів математичних здібностей в цьому віці мова може йти лише про елементарні форми таких компонентів. Але окремі компоненти математичних здібностей формуються вже у початкових класах. Звичайно, вікові особливості розвитку математичних здібностей вивчались на основній масі середніх і здібних учнях. При цьому потрібно відмітити, що індивідуальні відмінності у вікових межах (особливо, якщо порівнювати найбільш сильних і найбільш слабких учнів) виявлялись значно помітними.

Виявленні особливості розвитку математичних здібностей не надто сильно прив’язані до конкретного віку. Дослідження Д.Б. Ельконіна, В.В. Давидова, А.В. Скрипченко та інших показали, що при зміненні змісту і методики викладання можливі серйозні здвиги цих здібностей у таки широких межах в більш молодший вік.

Досвідчене навчання, яке здійснюють в школах співробітники інституту психології показує, що при спеціальній методиці навчання молодші учні здобувають набагато більшу здатність мислити, ніж прийнято думати. Однак, хоч вікові можливості учнів в більшості залежать від умов, в яких здійснюється навчання, вважати, що вони цілком створюються навчанням, було б не правильним. Тому неправильна крайня точка зору на це запитання, висловлена, наприклад, Г. П. Щедровицьким, який вважає, що не існує ніякої закономірної лінії звичайного психічного розвитку. Існує думка, що більш ефективна, ніж зараз існуюча, система навчання може «стиснути» весь процес, але до відомих меж, може змінити декілька послідовностей розвитку, але не може надати лінії розвитку абсолютно іншого характеру. Довільності тут бути не може. Не може, наприклад, здібність до узагальнення складних математичних співвідношень і методів сформуватися раніше, ніж здатність до узагальнення простих математичних співвідношень.

Таким чином, вікові особливості розвитку математичних здібностей, про які йде мова, − це умовне поняття. Взагалі то, задача полягала в дослідженні загальної тенденції, загального напрямку розвитку головних компонентів структури математичних здібностей під впливом навчання.

Аналіз вікових особливостей розвитку математичних здібностей проводиться за наступними параметрами:

1) Формалізоване сприйняття математичного матеріалу.

Даний компонент починає проявлятися вже в 1 – 3 класах. У більш здібних учнів під впливом навчання формується цікавість розібратися в умові задачі, співставити її дані. Їх починають цікавити в задачі не просто окремі величини, а саме співвідношення величин. Якщо менш здібні учні сприймають окремі, конкретні елементи задачі, як не зв’язані один з одним, і відразу після того, як прочитали задачу, починають виконувати різні дії зі всіма даними числами, не задумуючись над змістом задачі, то у більш здібних з’являється потреба при прийнятті умов задачі зв’язувати окремі показники і величини.

Поступово більш здібні учні починають бачити в задачі співвідношення між конкретними величинами. Тому вони часто не приділяють уваги тому, про які конкретні предмети йде мова в задачі. Менш здібні учні тримаються за точну назву предметів. В задачі вони бачать не математичні співвідношення, а лише конкретні предмети, з якимим потрібно щось робити.

У більш здібних учнів 4-го класу І.В. Дубровіна спостерігала явно виражену тенденцію до своєрідному аналітико-синтетичному сприйняттю умов задачі. Вони сприймають не лише одиничні елементи, а й комплекси взаємозв’язаних математичних величин і категорій. Мається на увазі, вказана особливість проявляється на порівняно нескладному арифметичному матеріалі і, поступово, на більш чи менш елементарному рівні.

В середньому шкільному віці помічається, а в старшому − досягає значного розвитку ще одна особливість сприйняття здібним учням математичного матеріалу, мається на увазі те, коли одна і таж сама задача сприймається, оцінюється з різних точок зору.

2) узагальнення математичного матеріалу.

Здібність до узагальнення математичного матеріалу як здатність уловлювати в різних завданнях і прикладах загальне і відповідно бачити різне, загалом починає складатися раніше всіх інших компонентів. Уже у 1 класі можна спостерігати її прояви, зрозуміло, що у елементарних формах. На цьому етапі ще важко говорити про цю здібність як специфічну здатність до узагальнення саме математичного матеріалу. Швидше, тут можна говорити про загальну здібність до узагальнення, як одну з проявів навчальної властивості. Сказане не відноситься до дуже обдарованих учнів − в тому числі і в 1 класі, і навіть в старшому дошкільному віці здібність до узагальнення виступає як специфічна здатність. Цей висновок дозволяють зробити експерименти, проведені І.В. Дубровіною на математичному і нематематичному матеріалі, вивчення розвитку групи дуже обдарованих школярів.

На початкових ступенях шкільного навчання, математичні узагальнення зазвичай «визрівають» поступово і розповсюджуються на порівняно обмежений круг явищ. З віком узагальненя стає все більш широким і розповсюджується на більший круг однорідних математичних явищ. У молодшому шкільному віці спостерігається відносно простіший вид узагальнення − рух від частинного до відомого загального − уміння побачити в частинному вже відоме загальне, інакше кажучи, підвести частинний випадок під загальне правило. Цей вид узагальнення досягає великого розвитку в середньому шкільному віці. Чим більше здатний учень, тим успішніше справляється він із завданнями на відповідне узагальнення. Як правило, тільки на початку середнього шкільного віку вчені спостерігали узагальнення індуктивного характеру − від частинного до невідомого загального.

Розвиток здібності до узагальнення йде по лінії поступового скорочення кількості спеціальних однотипних вправ, що є передумовою такого узагальнення. У найбільш здатних учнів середнього шкільного віку таке узагальнення наступає відразу, шляхом аналізу одного окремо узятого явища у ряді схожих явищ, як здатність угледіти ще невідоме загальне в одиничному.

Для здатних підлітків взагалі характерне узагальнене вирішення завдань. У елементарній формі ця тенденція може бути відмічена і у здатних молодших школярів. Такі учні без утруднень переходять до вирішення завдань в буквеній формі.

Нарешті, було встановлено, що здібні до математики старшокласники піднімаються до рівня узагальнення методів, принципів підходу до аналізу і розв'язання задач різних типів. Ці методи відрізняються різним ступенем узагальненості.

3) стисненість математичного мислення – тенденція мислити в процесі математичної діяльності скороченими структурами.