116278 (Формування та розвиток математичних здібностей), страница 4

Скорочення мислення і системи відповідних дій в процесі математичної діяльності являється специфічною для здатних до математики учнів в основному старшого шкільного віку. Як показало дослідження І.В. Дубровіної, вказаний компонент математичних здібностей в молодшому шкільному віці проявляється лише в самій елементарній формі.

Існує дві лінії розвитку вказаного компоненту від середнього до старшого шкільного віку. З одного боку багатократність повторення однотипного міркування і системи відповідних дій, являються на різних вікових етапах необхідною умовою початку процесу скорочення, поступово перестає бути такою необхідною умовою. Міркування і система відповідних дій починають скорочуватись відразу при розв’язуванні навіть нового типу задач. Щодо найбільш здібних до математики учнів 7-го, 8-го і особливо старших класів, то у них часто взагалі неможливо прослідкувати процес скорочення. Вони в математиці міркують вже скороченими структурами, що забезпечує їм велику швидкість переробки математичної інформації.

Друга лінія розвитку стосується осмислення учнями опущених міркувань. Наскільки осмислюється ними ті ходи думки і дій, які випалди із системи?

4) гнучкість мислення.

У початковій формі цей компонент був виявлений лише у здібних до математики молодших школярів. Майже ні у кого з досліджених школярів 2 класу не виявлено явної тенденції, наприклад, шукати декілька різних шляхів рішення однієї і тієї ж задачі, перемикаючись з одного ходу думки на іншій.

Такий перехід виявлявся для них важким. Відповідна вимога експериментатора часто викликала у них подив. Для багатьох з них неприйнятна сама думка про те, що завдання може мати декілька рішень (і всі правильні). Але здібні до математики учні 3-х та 4-х класів вже демонструють відому гнучкість розумових процесів шляхом пошуку інших рішень (правда, ніколи це не відбувалося за власною ініціативою, завжди після навідних питань експериментатора). Менш здібні до математики учні навіть більш старших класів важко перемикаються з однієї розумової дії на іншу (якісно іншу), вони зазвичай дуже скуті, спочатку знайденим способом розв'язку, схильні до шаблонних і трафаретних ходів думки. Цікаво, що у подібних випадках справа полягає не в тому, що важко перемкнутися з простого на складніший спосіб розв'язання. Часто важко перемкнутися і з важчого на легший спосіб, якщо перший є звичним, знайомим, а другий − новим і незнайомим. Один спосіб розв'язку гальмується іншим.

Розвиток гнучкості мислення йде шляхом все більш повного звільнення від впливу попереднього ходу думки. У більш здібних до математики підлітків і старшокласників перебудова способів мислення, що склалися, здійснюються швидко і безболісно. Вони вже за власною ініціативою знаходять різні шляхи вирішення завдань.

5) математична пам'ять.

Проявів власне математичної пам'яті її розвинених формах (коли пам'яталися б тільки узагальнення розумові схеми) в молодшому шкільному віці нами не спостерігалося. Здібні учні в цьому віці, за спостереженнями І.С. Дубровіної, зазвичай рівно запам'ятовують і конкретні дані і відношення. У їх пам'яті зберігається загальне і часткове, істотне і неістотне, потрібне і непотрібне. Але основним для них все-таки поступово стає відношення Даних завдання. Якщо вони щось і забудуть, то це швидше не математичні відношення, а числа та конкретні дані.

З роками все більше значень набуває запам'ятовування відношень, все менше − запам'ятовування конкретних даних. Пам'ять поступово звільняється від зберігання часткового, конкретного, непотрібного для подальшого розвитку. Пам'ять, здатних, до математики підлітків виявляється по відношенню до різних елементів математичних систем (завдань). Вона носить узагальнений і «терміновий» характер. Швидко запам'ятовуються і міцно зберігаються типи завдань і узагальнені способи їх розв'язання, схеми міркувань, доказів. Конкретні дані запам'ятовуються добре, але в основному лише на термін розв'язання задачі, після чого швидко забуваються. Зайві, непотрібні дані запам'ятовуються погано. Запам'ятовується не вся математична інформація, а переважно та, яка «очищена» від конкретних значень.

Якісно нових особливостей набуває математична пам'ять у здібних до математики старшокласників. Тут слід зазначити дві особливості, вивчені С. І. Шапіро. Перша з них полягає в наступному. Вище вже вказувалося, що у здатних старшокласників узагальнення утворюються і функціонують на різних рівнях спільності. До цього треба додати, що один і той же математичний матеріал може зберігатися в пам'яті одночасно на різних рівнях узагальнення, які співіснують один з одним. Наприклад, в пам'яті зберігається найширший функціональний образ формули без деталей, що відображає найзагальніший характер функціональної залежності, разом з цим − конкретніша її форма і, нарешті, власне формула. Це дозволяє, по-перше, легко вивести формулу (якщо вона забулася), виходячи із загального характеру функціональної залежності і, по-друге, легко заздалегідь «прикидати» можливість застосування даної формули в тому або іншому, конкретному випадку.

Дослідження показало, наприклад, що формула площі трикутника зберігалася в пам'яті деяких здатних десятикласників одночасно на трьох рівнях: 1) найширший функціональний образ формули − площа трикутника є функцією двох сторін і кута між ними; 2) менш узагальнений образ, але що не містить ще самої формули − площа трикутника є функцією двох сторін і синуса кута між ними; 3) власне формула площі.

Більшість здатних десятикласників також пам'ятали формулу тангенса подвійного кута на двох рівнях:

1) та 2) .

Інша особливість математичної пам'яті здатних старшокласників полягає в тому, що вони добре пам'ятають загальні методи підходу до розв'язування завдань, часто у вигляді найзагальніших вказівок, без деталей. Жодній з них він не міг пригадати, як не старайся. Зберігся в пам'яті тільки сам метод, сама ідея.

Така найзагальніша і орієнтовна картина вікового розвитку компонентів, що займають істотне місце в структурі математичних здібностей школярів. На різних вікових ступенях ці компоненти відрізняються якісною своєрідністю, специфічною формою прояву.

Дослідження показали наявність закономірних кількісних і якісних змін в прояві цих компонентів, з віком. Кожен новий етап підготовлений попереднім шляхом розвитку, виникає на основі його і є передумовою для переходу на новий, вищий рівень розвитку. Ця лінія розвитку складається .під вирішальним впливом шкільного навчання, хоча і не тільки ним визначається.

6) Прагнення і економії розумових зусиль, раціональності

Тенденція до оцінки ряду можливих способів розв'язку і вибору з них найбільш зрозумілого, простого і економного, найбільш раціонального розв'язку в молодшому шкільному віці ще не чітко виражена. Лише найбільш здатні учні оцінювали різні рішення як «простіше» і «складніше», «краще»,і «гірше», виходячи при цьому тільки з кількості зроблених дій. Тільки 31% досліджених І. В. Дубровіною, більш здатних учнів 2-х, 3-х класів вирішували задачу відразу простішим і економнішим способом, зрозуміло побачивши при цьому і інші способи і оцінюючи відносну їх раціональність.

Вказана тенденція починає помітно виявлятися лише в _: середньому шкільному віці. Якщо для учнів з середніми здібностями мета полягає в тому, чтоб розв'язати завдання, то для здібних до математики вона полягає в тому, щоб вирішити її якнайкращим, найбільш економним способом. Хоча підліткам і не завжди вдається знайти найбільш раціональне вирішення завдань в більшості випадків вони обирають шлях, який швидше і легше приводить до мети.

Особливого розвитку відмічений компонент досягає в старшому шкільному віці. С. І. Шапіро підкреслює, що вказана тенденція властива всім дослідженим їм здібним до математики старшокласникам і виявляється при цьому в дуже яскравій і виразній формі. Після першого вирішення завдань зазвичай починаються творчі пошуки, направлені на дослідження і поліпшення знайденого способу, з метою знайти найбільш економний і раціональний.

2.3 Про статеві відмінності в характеристиці математичних здібносте

Чи роблять який-небудь вплив на характер розвитку математичних здібностей і на рівень досягненні у відповідній області статеві відмінності? Чи мають місце якісно своєрідні особливості математичного мислення хлопчиків і дівчаток, дівчат і парубків в шкільному віці? Відповідні дослідження в радянській психології відсутні. Мабуть, вважається за само собою зрозумілий, що ніяких принципових відмінностей в цій області немає, а існуючі відмінності цілком пояснюються традицією, умовами виховання і навчання. У зарубіжній психології є деяка, (відносно невелика) кількість робіт, де зроблена спроба виявити окремі якісні особливості математичного мислення хлопчиків (парубків) і дівчаток (дівчат). У деяких роботах прямо мовиться про перевагу хлопчиків над дівчатками в цьому відношенні, в інших заперечується це, хоча і указується на ті або інші особливості мислення хлопчиків та дівчаток.

Ще В. Штерн в своїй відомій книзі, присвяченій аналізу обдарованості дітей і підлітків, говорить про свою незгоду з тією точкою зору, згідно якої відмінності в розумовій області чоловіків і жінок є результатом неоднаковості виховання, шкільної освіти. На його думку, причини криються в різних внутрішніх задатках. Тому можна говорити, помічає Штерн, про те, що жінки менш схильні до абстрактного, логічного, відвернутого мислення і менш здатні в цьому відношенні.

У 1963 р. була опублікована робота Е. П. Торранс. Автор пропонував хлопчикам і дівчаткам різного шкільного віку різні завдання, що вимагають нескладних форм творчого наукового мислення. За даними автора, хлопчики перевершували дівчаток в знаходженні ідей і принципів творчого вирішення завдань (вони указують на більшу кількість можливостей, ідеї їх оцінюються вище і т. д.).

Що стосується власного математичного мислення, то певні вислови із цього приводу, засновані на спостереженнях і експериментах, є у Ч. Спірмена і Е. Торндайка. Спірмен висловив думку, що статеві відмінності в математичному мисленні, якщо і існують, то вони, по-перше, незначні, а по-друге, можуть залежати від середовища більше, ніж від внутрішніх умов. Торндайк в книзі «Психологія алгебри» пише, посилаючись на повсякденний досвід і спеціальні дослідження, що між хлопчиками і дівчатками не існує скільки-небудь помітних відмінностей в здібності до алгебри. Разом з цим Торндайк відзначає у хлопчиків більший інтерес до алгебри, зв'язуючи це з цікавістю їх до фізики і інженерних спеціальностей. У книзі «Принципи навчання, засновані на психології», Торндайк також пише, що «відносно здібностей великої різниці між дівчатками і хлопчиками не помічається». Але при цьому він відзначає велику схильність дівчаток до деталізації, запам'ятовування подробиць, точніше відтворення ними даних.

А. Кеймерон в роботі 1925 р. також, вважаючи, що немає істотних відмінностей в математичних здібностях хлопчиків і дівчаток, указує разом з тим на відмінність між ними в здібності до просторових уявлень − у хлопчиків вона розвиненіша. Автор указує, що можливе ця відмінність є результатом навчання, вправ, оскільки, якщо хлопчики і дівчатка навчалися разом, то ця перевага стає мало помітною. Але і в цьому випадку, відзначає Кеймерон «перевага хлопчиків в уяві більш; складних геометричних форм зберігається»

А. Блекуелл. у 1940 р., досліджуючи за допомогою факторного аналізу результати рішення 100 хлопчиками і 100 дівчатками різних тестів, виділив у хлопчиків 3 специфічних чинника, а у дівчаток в цих же умовах − 4. У дівчаток був виділений спеціальний чинник, відсутній у хлопчиків, умовно названий чинником , − чинник точності і акуратності, здатність утримувати і зберігати дані відносно педантично точній формі. Крім того, виявилися нібито відмінності і в прояві вербального чинника. У дівчаток це − чисто вербальний чинник, а у хлопчиків він швидше має бути названий чинником вербального міркування (як «здатність маніпулювати думками у вербальній формі»). Автор припускає, що саме тому словесно-логічна робота хлопчиками проробляється з більшою легкістю, чим дівчатками. Інше факторне дослідження, проведене на десятиліття пізніше, − в 1951 р. (Б. Мак-Аллістер), також виявило деякі відмінності між хлопчиками і дівчатками. У формальній стороні арифметичних операцій досягнення були приблизно однакові, але хлопчики виявили перевагу над дівчатками в двох тестах − в одному з тестів на загальний інтелект і в одному пз тестів на арифметичне міркування.

У великій узагальнювальній праці по диференціальній психології А. Анастасі (1958г.) наводяться дані, що показують, що хлопчики перевершують дівчаток в тестах на обчислювальні операції і в тестах на арифметичні міркування, причому цієї різниці не спостерігається в елементарній школі, а в середній школі і особливо в коледжах вона стає вельми помітною. Нарешті, згадаємо опубліковану в 1956г. статтю Ф. Отіа, де_: наводяться результати експериментів на нескладне математичне міркування. Хлопчики перевершували дівчаток по рівню рішення − більше в процентному відношенні число хлопчиків, чим дівчаток, розв'язали задачу на вищому, узагальненому рівні.

Узагальнюючи результати всіх цих досліджень, можна сказати, що, за їх даними, хлопчики перевершують дівчаток в здібності до логічного міркування, а дівчатка − хлопчиків в точності, строгості, акуратності, свого роду «педантичності» мислення. Залишається, звичайно, відкритим питання, наскільки ці дані достовірні і наскільки ці особливості є «природними» − на це указують і самі дослідники.

Вчені стверджують,що їх дослідження, й дослідження Й.В. Дубровіної і С.І. Шапіро не виявили яких-небудь якісних, специфічних особливостей в математичному мисленні хлопчиків; і дівчаток.

Зрозуміло, фактично хлопчики частіше виявляють математичні (так само як і технічні) здібності. У молодших класах це майже непомітно, в старших стає вельми відчутним. Переможцями в математичних олімпіадах частіше бувають хлопчики, чим дівчатка, більше їх вчиться і в спеціальних математичних школах і класах.

Але це фактична відмінність, як нам здається, треба віднести за рахунок різниці в традиціях, у вихованні хлопчиків і дівчаток, за рахунок поширеного погляду на чоловічі і жіночі професії. Це приводить до того, що математика часто виявляється поза спрямованістю інтересів дівчаток. Принаймні сьогодні ми не маємо в своєму розпорядженні ніяких даних, які зобов'язали б нас зробити інший висновок.