Осн.урав.,с.28-36 (Лекции (много вордовский файлов))

величина давления в какой‑нибудь одной точке, в основном вдалеке от обтекаемого тела.

Начальные условия фигурируют лишь в нестационарных задачах и представляют собой задание пространственных распределений скоростей и температур в некоторый «начальный» момент времени.

Элементы теории подобия

Ввиду невозможности получить точное решение уравнений Навье–Стокса и уравнения энергии прибегают либо к приближенным решениям, либо к экспериментам на моделях. В последнем случае возникает вопрос об условиях подобия для обтекания натурного объекта и его модели. Будем считать, что два физических явления подобны, если отношения сходственных физических величин одинаковы в сходственные моменты времени во всех сходственных точках пространства. Другими словами, физические явления подобны, если любое из них может быть получено из другого путем изменения каждой из характеризующих явление величин в одинаковое число раз. Следовательно, подобные физические явления описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями, отличающимися только постоянными и одинаковыми при всех членах множителями. Если эти дифференциальные уравнения записать в безразмерном виде, то для двух подобных течений эти уравнения окажутся совершенно идентичными. Эти соображения являются основой теории подобия.

П
риведем к безразмерному виду уравнение Навье–Стокса (2.26'), для чего введем масштабы переменных величин, которым припишем индекс «нуль». Тогда (2.26') можно представить следующим образом:

Р
азделив все это выражение на величину   ₀w₀² / l₀,   пропорциональную конвективной силе инерции, получим:

Это уравнение содержит безразмерные комплексы, являющиеся критериями подобия, которым присвоены следующие названия:

l₀ / (w₀ t₀) = Sh   –  число Струхаля, показывающее отношение локальной силы инерции, вызванной неустановившимся характером движения, к конвективной силе инерции;

(l₀ f₀) / w₀² = Fr   –  число Фруда, показывающее отношение силы веса (объемной внешней силы) к конвективной силе инерции, т. е. во сколько раз потенциальная энергия больше кинетической;

P₀ / ₀ w₀²) = Eu   –  число Эйлера, показывающее отношение силы гидродинамического давления к конвективной силе, т. е. во сколько раз давление больше скоростного напора;

_ / (l₀ ₀ w₀) = (l₀ w₀) / v₀ = Re   –  число Рейнольдса, показывающее отношение сил вязкости и конвективных сил.

При получении указанных критериев все действующие на жидкость силы сравнивались с конвективными силами инерции. Можно, конечно, сравнивать и другие пары сил. Тогда получим и некоторые иные критерии, но все они будут выражаться через те же критериальные комплексы. Использование таких новых критериев не имеет практического смысла. Моделировать надо по главным силам, к которым в подавляющем числе задач и относятся конвективные силы инерции.

Д
ля сжимаемой жидкости число Эйлера может быть выражено так:

г
де

т. е. в случае газовых течений появляются два дополнительных критерия: 1) число Пуассона   ( C_p / C_v);   2) число Маха   (M =w / a).

В
ыполнить условия полного подобия очень трудно. Если натурный объект работает в какой‑либо среде, то при переходе к модели (с меньшими размерами) надо изменять скорость исходя из следующих требований:

Одновременное выполнение этих требований невозможно. Однако в большинстве случаев добиваться полного подобия и не надо. Обычно в каждой конкретной задаче некоторые члены уравнения (2.26') либо равны нулю, либо малы.

П р и м е р  1.  Для самолета число Фруда не имеет значения, так как сила тяжести, действующая на частицы воздуха, обтекающего самолет, мала. Если самолет движется с небольшой скоростью   (M   1),   то сжимаемости воздуха не происходит и поэтому нет необходимости в выполнении требования   M = idem.   Наконец, в случае установившегося движения самолета отпадает и требование   Sh = idem.   Здесь достаточно удовлетворить условия геометрического и кинематического подобий и требование   Re = idem.   Испытание модели такого самолета в аэродинамической трубе необходимо вести при очень большой скорости потока   [w_м = w_н (l_н / l_м)].   Размеры
l_м   не должны быть очень маленькими, иначе   w_м   может возрасти настолько, что нельзя будет пренебречь сжимаемостью, т. е. нарушится одно из принятых условий
(M   1).   Поэтому дозвуковая аэродинамическая труба должна иметь относительно большие размеры. Известный способ обойти эту трудность – построить трубу с высоким давлением воздуха, в которой малый размер модели   [при   Re = _ / (l₀ ₀ w₀)] компенсируется повышенной плотностью. Иногда модель испытывают не в воздухе, а во фреоне, используя малую вязкость последнего.

П р и м е р  2.  Исследуют сверхзвуковой летательный аппарат с большим сопротивлением давления. В этом случае сопротивление трения (вязкость) не играет роли, т. е. нет необходимости выдерживать условия   Fr = idem   и   Sh = idem. Основным определяющим критерием является   M = idem   при    = idem.   Это позволяет производить моделирование в сверхзвуковой трубе малых размеров.

П
 р и м е р  3.  Рассмотрим корабль не очень обтекаемой формы. Он порождает большие волны, и в таком случае сопротивление трению имеет второстепенное значение по сравнению с волновым сопротивлением (затратой энергии на преодоление силы тяжести воды). Определяющим критерием является число Фруда. При испытании модели корабля в гидроканале скорость ее движения следует принять меньшей, чем у натуры, в корень квадратный раз из отношения линейных размеров:

Иногда нельзя добиться приближенного подобия, выдерживая постоянство одного критерия. Например, при моделировании хорошо обтекаемого летательного аппарата необходимо, чтобы   M = idem   и   Re = idem,   так как сопротивления давлению и трению в данном случае соизмеримы. В подобном случае нужна сверхзвуковая труба больших размеров.

Для приближенного моделирования судна обтекаемой формы требуется выполнить условия:   Fr = idem,     Re = idem.

Р
ассмотрим теперь уравнение энергии (2.40). Приведем его к безразмерному виду, причем за масштаб температуры примем разность температур набегающего потока (вдали от тела) и стенки тела   T₀ = T_ – T_ст .
Также исследуем установившийся режим (учет нестационарного члена дает, как и раньше, число Струхаля). Тогда (2.40) можно представить в следующем виде:

П
осле деления этого уравнения на общий множитель левой части получим:

В данном уравнении все виды тепловых потоков выражены в долях от конвективного тепла.

Тепловое подобие двух процессов осуществляется при наличии равенства в обоих течениях полученных трех безразмерных комплексов:   1) P₀ / (₀ C_p T₀); 2)  / (l₀ ₀ C_p w₀);   3) (w₀) / (l₀ ₀ C_p T₀).   Исследуем их.

1
‑й комплекс:

где      –   температурный критерий   [ = w₀² / (C_p T₀)],   который пропорционален   w₀²   и учитывает отношение работы сжатия, осуществляемой динамическим давлением, к конвективному тепловому потоку. Поэтому он существен при больших скоростях потока.

2‑й комплекс (выражает собой отношение тепла, переносимого теплопроводностью к конвективному потоку):

где    / (C_p   –   число Прандтля   (Pr),   характеризующее связь между теплоемкостью, теплопроводностью и вязкостью.

П
роизведение чисел Прандтля и Рейнольдса называют числом Пекле, или критерием Пекле (Pe):

Он широко используется при моделировании процессов теплообмена.

3
‑й комплекс (представляет собой отношение рассеиваемого тепла к конвективному потоку и не приводит к новым комплексам):

Скорость распространения малых возмущений
в жидкости и газе

Чтобы выяснить особенности движения газа очень важно сравнить скорость его движения со скоростью, характерной для данного газа и зависящей от его термодинамического состояния, – т. е. со скоростью распространения малых возмущений.

П
од малым возмущением понимают такое изменение начальных параметров среды, при котором абсолютная величина изменения параметра неизмеримо мала по сравнению с его исходным значением, т. е.   P' << P₀, ' << _0   (P₀,  _0 – давление и плотность невозмущенного газа;   P',  ' – прибавка к   P₀   и   _0   за счет возмущений). Из курса физики известно, что скорость распространения малых возмущений в газе определяется следующим образом:

Формула (2.46) верна и для движущегося газа, только в этом случае под величиной a следует понимать «местную» скорость распространения малых возмущений относительно движения газа в данной точке потока. К числу наиболее широко наблюдаемых явлений распространения малых возмущений относится распространение звука, заключающееся, как известно, в распространении волн слабого сжатия и разрежения. В связи с этим величину
a   называют скоростью звука.

П
ринимая процесс распространения звука изотермическим и учитывая, что при таком процессе   P = c,   dP / d  c = P /    получим