86097 (Статистический анализ выборочных совокупностей)

Содержание

Введение

1. История развития теории вероятностей и математической статистики

2. Теоретические основы статистической обработки экспериментальных данных

3. Статистический анализ выборочной совокупности

Заключение

Список литературы

Приложение

Введение

Математическая статистика – это раздел математики, в котором изучаются математические методы планирования экспериментов, систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических целей. В математической статистике предполагается, что результаты опытных данных и наблюдений являются реализацией случайных величин или процессов, имеющих те или иные законы распределения.

Методы математической статистики обосновывают способы группировки и анализа статистических сведений о качественных и количественных признаках объектов различной природы. Проведение обследования каждого объекта большой совокупности относительно интересующего признака или физически невозможно или экономически нецелесообразно. Для установления статистических закономерностей случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

Цель данной курсовой работы – исследование 3-х выборочных совокупностей объемом по сто наблюдений каждая, которое включает следующие этапы:

1. составление статистических распределений выборочных совокупностей;

2. нахождение параметров статистических распределений;

3. установление законов распределения выборочных совокупностей.

1. История развития теории вероятностей и математической статистики

Математическая статистика как наука начинается с работ знаменитого немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777–1855), который на основе теории вероятностей исследовал и обосновал метод наименьших квадратов, созданный им в 1795 г. и примененный для обработки астрономических данных (с целью уточнения орбиты малой планеты Церера). Его именем часто называют одно из наиболее популярных распределений вероятностей – нормальное, а в теории случайных процессов основной объект изучения – гауссовские процессы.

В конце XIX в. – начале ХХ в. крупный вклад в математическую статистику внесли английские исследователи, прежде всего К. Пирсон (1857–1936) и Р.А. Фишер (1890–1962). В частности, Пирсон разработал критерий «хи-квадрат» проверки статистических гипотез, а Фишер – дисперсионный анализ, теорию планирования эксперимента, метод максимального правдоподобия оценки параметров.

В 30-е годы ХХ в. поляк Ежи Нейман (1894–1977) и англичанин Э. Пирсон развили общую теорию проверки статистических гипотез, а советские математики академик А.Н. Колмогоров (1903–1987) и член-корреспондент АН СССР Н.В. Смирнов (1900–1966) заложили основы непараметрической статистики. В сороковые годы ХХ в. румын А. Вальд (1902–1950) построил теорию последовательного статистического анализа.

Понятие случайного процесса введено в XX столетии и связано с именами А.Н. Колмогорова (1903–1987), А.Я. Хинчина (1894–1959), Е.Е. Слуцкого (1880–1948), Н. Винера (1894–1965). Это понятие в наши дни является одним из центральных не только в теории вероятностей, но также в естествознании, инженерном деле, экономике, организации производства, теории связи. Теория случайных процессов принадлежит к категории наиболее быстро развивающихся математических дисциплин. Несомненно, что это обстоятельство в значительной мере определяется ее глубокими связями с практикой. XX век не мог удовлетвориться тем идейным наследием, которое было получено от прошлого. Для исследования изменения во времени теория вероятностей конца XIX – начала XX века не имела ни разработанных частных схем, ни тем более общих приемов. А необходимость их создания буквально стучала в окна и двери математической науки. Изучение броуновского движения в физике подвело математику к порогу создания теории случайных процессов. В исследованиях датского ученого А.К. Эрланга (1878–1929) была открыта новая важная область, связанная с изучением загрузки телефонных сетей.

Во втором десятилетии XX века начались исследования динамики биологических популяций. Итальянский математик Вито Вольтерра (1860–1940) разработал математическую теорию этого процесса на базе чисто детерминистских соображений. Позднее ряд биологов и математиков развивали его идеи уже на основе стохастических представлений. Многие физические явления для своего изучения требуют умения вычислять вероятность того, что определенная доля молекул успеет за заданный промежуток времени перейти из одной области пространства в другую.

Теория броуновского движения, исходящая из теоретико-вероятностных предпосылок, была разработана в 1905 г. двумя известными физиками М. Смолуховским (1872–1917) и А. Эйнтейном (1879–1955). В частности, именно с этих работ, как, впрочем, и с работ Эрланга, проявился широкий интерес к процессу Пуассона. Впрочем, сам Пуассон ввел в рассмотрение только распределение Пуассона, но он заслужил, чтобы его имя произносилось и при рассмотрении случайных процессов, связанных с его распределением. Это не единственный случай, когда в честь того или другого исследователя новым понятиям присваиваются их имена, хотя до этих понятий они и не доходили. Теперь широко распространены гауссовские случайные процессы, хотя сам Гаусс о них не имел никакого представления, да и само исходное распределение задолго до его рождения было получено Муавром, Лапласом и др.

В теории же ошибок измерений одновременно с Гауссом к нему пришел также Лежандр. Попытка изучения средствами теории вероятностей явления диффузии была предпринята в 1914 г. двумя известными физиками – М. Планком (1858–1847) и А. Фоккером (1887–1972). Н. Винер в середине двадцатых годов при изучении броуновского движения ввел в рассмотрение процесс, получивший название винеровского процесса (процесса броуновского движения). Мы должны упомянуть еще о двух важных группах исследований, начатых в разное время и по разным поводам. Во-первых, эта работы А.А. Маркова (1856–1922) по изучению цепных зависимостей. Во-вторых, работы Е.Е. Слуцкого (1880–1948) по теории случайных функций. В 1931 г. была опубликована большая статья А.Н. Колмогорова – Об аналитических методах в теории вероятностей, а через три года – работа А.Я. Хинчина – Теория корреляции стационарных стохастических процессов, которые следует считать началом построения общей теории случайных процессов. В первой из этих были заложены основы марковских процессов, а во второй – основы стационарных процессов. Они были источником огромного числа последующих исследований, среди которых следует отметить статью В. Феллера – К теории стохастических процессов (1936), давшую интегро-дифференциальные уравнения для скачкообразных марковских процессов. Обе только что упомянутые основополагающие работы содержат не только математические результаты, но и глубокий философский анализ причин, послуживших исходным пунктом для построения основ теории случайных процессов.

Математическая статистика бурно развивается и в настоящее время. Так, за последние 40 лет можно выделить четыре принципиально новых направления исследований:

– разработка и внедрение математических методов планирования экспериментов;

– развитие статистики объектов нечисловой природы как самостоятельного направления в прикладной математической статистике;

– развитие статистических методов, устойчивых по отношению к малым отклонениям от используемой вероятностной модели;

– широкое развертывание работ по созданию компьютерных пакетов программ, предназначенных для проведения статистического анализа данных.

2. Теоретические основы статистической обработки экспериментальных данных

Функция распределения вероятностей случайной величины

Функцией распределения называют функцию F(х), определяющую вероятность того, что непрерывная случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее числа х:

.

Свойства функции распределения:

1. значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1]: ;

2. F(x) – неубывающая функция, т.е. если ;

3. вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: ;

4. если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то при и при .

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x):

.

Свойства плотности распределения:

1. плотность распределения – неотрицательная функция: f(x)≥0;

2. несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от –∞ до +∞ равен единице: ;

3) вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (х₁; х₂), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому от a до b:

. (1)

Полученный результат геометрически отражает тот факт, что вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал (х₁; х₂) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, графиком плотности распределения f(x) и прямыми и .

1.2. Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание М(Х) непрерывной случайной величины, распределенной на интервале (х₁; х₂), характеризует ее среднее значение и определяется по формуле

(2)

Дисперсия D(X) непрерывной случайной величины, распределенной на интервале (х₁; х₂), характеризует ее рассеяние относительно математического ожидания и определяется по формуле

. (3)

Если возможные значения непрерывной случайной величины принадлежат всей числовой оси Ох, то математическое ожидание и дисперсия определяются по формулам

и .

Среднее квадратическое отклонение σ(Х) случайной непрерывной величины определяется по формуле

. (4)

Начальным моментом порядка s случайной величины Х называют математическое ожидание величины Х^s:

. (5)

Начальный момент первого порядка случайной величины Х соответствует ее математическому ожиданию.

Центральным моментом порядка s случайной величины Х называют математическое ожидание величины :

. (6)

Центральные и начальные моменты случайной величины Х связаны следующими соотношениями:

1) ;

2) ;

3) .

Центральный момент третьего порядка случайной величины Х характеризует асимметрию (скошенность) распределения и служит для вычисления коэффициента асимметрии , который определяется по формуле

. (7)