86097 (Статистический анализ выборочных совокупностей), страница 3

Эмпирическая частота равна количеству наблюдений в выборке, попавших в данный интервал. Теоретическая частота вычисляется по формуле

, (31)

где Р_i – вероятность попадания случайной величины Х теоретического распределения в частичный интервал , n – объем выборки.

Выбор теоретического распределения определяется примерным совпадением вида гистограммы относительных частот статистического распределения с графиком плотности соответствующего распределения случайной величины Х (рис. 1, 2, 3). Результатом проведенного сравнительного анализа выступает выдвижение гипотезы о виде распределения выборочной совокупности и ее последующая проверка.

Для подтверждения выдвигаемой гипотезы сравниваются:

1) коэффициент асимметрии статистического распределения с коэффициентами асимметрии равномерного и нормального распределений ( );

2) эксцесс статистического распределения с эксцессами равномерного ( ) или нормального распределений ( );

3) коэффициент вариации V статистического распределения с коэффициентами вариации показательного ( ) распределения.

Характеристики выборочных совокупностей

Выборка	Характеристики
	Xmin	Xmax
1	5,1 ≈ 5	18,76 ≈ 20	6	2,5
2	0,18 ≈ 0	22,06 ≈ 25	5	5
3	0,03 ≈ 0	30,76 ≈ 35	7	5

Центральные эмпирические моменты выборок

Параметры	Выборка
	1	2	3
m2	16,48	19,62	48,58
m3	1,19	-3,79	513,41
m4	488,96	1053,94	11404,22

Параметры статистических распределений выборок

Параметры	Выборка
	1	2	3
	12,19	12,54	12,19
	4,06	4,43	6,97
	0,02	-0,04	1,5
	-1,20	-0,26	1,83
	0,33	0,35	0,57

выборочная совокупность 1 имеет равномерное распределение с параметрами a=5,15 и b=19,22;

выборочная совокупность 2 имеет нормальное распределение с параметрами a=12,54 и =4,43;

выборочная совокупность 3 имеет показательное распределение с параметром =0,14.

Результаты сравнения коэффициентов асимметрии, эксцессов и коэффициентов вариации выборочных совокупностей не противоречат выдвинутым гипотезам:

коэффициент асимметрии и коэффициент вариации V=0,33 выборочной совокупности 1 сравнимы с соответствующими параметрами равномерного распределения ( );

коэффициент асимметрии A^*_s=-0,04, эксцесс E^*_s=-0,26, выборочной совокупности 2 сравнимы с соответствующими параметрами нормального распределения ( );

коэффициент вариации V=0,57 выборочной совокупности 3 сравним с соответствующим параметром показательного распределения ( ).

Проверка гипотезы о равномерном распределении выборки 1

Нулевая гипотеза Н0: выборочная совокупность 1 имеет равномерное распределение с параметрами a=5,15 и b=19,22.

Число степеней свободы: r=3.

Уровень значимости α=0,05.

Критическая точка

Наблюдаемое значение критерия Пирсона

Критическая область :

Область принятия гипотезы :

Условие принятия Н0 :

Условие непринятия Н0 :

Результат проверки гипотезы: выборочная совокупность 1 имеет равномерное распределение с параметрами a=5,15 и b=19,22.

Проверка гипотезы о нормальном распределении выборки 2

Нулевая гипотеза Н0: выборочная совокупность 2 имеет нормальное распределение с параметрами a=12,54 и =4,43.

Число степеней свободы: r=2.

Уровень значимости α=0,05

Критическая точка

Наблюдаемое значение критерия Пирсона

Критическая область :

Область принятия гипотезы :

Условие принятия Н0 :

Условие непринятия Н0 :

Результат проверки гипотезы: выборочная совокупность 2 имеет нормальное распределение с параметрами a=12,54 и =4,43.

Проверка гипотезы о показательном распределении выборки 3

Нулевая гипотеза Н0: Выборочная совокупность 3 имеет показательное распределение с параметром =0,14.

Число степеней свободы: r=5

Уровень значимости α=0,05

Критическая точка

Наблюдаемое значение критерия Пирсона

Условие принятия Н0 :

Результат проверки гипотезы: выборочная совокупность 3 имеет показательное распределение с параметром =0,14.

Заключение

С помощью программы Excel был проведен статистический анализ 3-х выборочных совокупностей и было установлено, что:

• выборочная совокупность 1 имеет равномерное распределение с параметрами a=5,15 и b=19,22;

• выборочная совокупность 1 имеет нормальное распределение с параметрами a=12,54 и =4,43;

• выборочная совокупность 3 имеет показательное распределение с параметром =0,14.

Список литературы

1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей: учеб. пособие для вузов. 4-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 2002. 448 с.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов. 9-е изд., стер. М.: Высш. шк., 2003. 479 с.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 4-е, стер. – М.: Высш. шк., 1997. 400 с.

4. Горелова Г.В., Кацко И.А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel. Учебное пособие для вузов. Издание 2-е исправленное и дополненное. Ростов на Дону: Феникс, 2002. 400 с.

5. Елисеева Н.Н. и др. Теория статистики с основами теории вероятностей. М.: ЮНИТИ, 2001. 446 с.

6. Куликова О.В., Тимофеева Г.А., Чуев Н.П. Исследование выборочных совокупностей с применением программы Excel – Екатеринбург.: УрГУПС, 2003. 76 с.

7. Макарова Н.В., Трофимец В.Я. Статистика в Excel: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2002. 368 с.

8. Гнеденко Б.В. Очерки по истории математики в России. – М.; Л.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1946. – 245 с.