85486 (Абелевы универсальные алгебры), страница 3

Следовательно,

Итак, конгруэнция удовлетворяет определению 2.1. для любого . Лемма доказана.

Лемма 3.2. Пусть и – конгруэнции на алгебре ,

и – изоморфизм, определенный на алгебре .

Тогда для любого элемента отображение

определяет изоморфизм алгебры на алгебру , при котором

Доказательство:

Очевидно, что – изоморфизм алгебры на алгебру , при котором конгруэнции и изоморфны соответственно конгруэнциям и .

Так как , то существует конгруэнция на алгебре , удовлетворяющая определению 2.1. Изоморфизм алебры на алгебру индуцирует в свою очередь изоморфизм алгебры на алгебру такой, что

для любых элементов , .

Но тогда легко проверить, что – конгруэнция на алгебре изоморфная конгруэнции . Это и означает, что

Лемма доказана.

Лемма 3.3. Фактор-алгебра нильпотентной алгебры нильпотентна.

Доказательство:

Пусть

центральный ряд алгебры . Покажем, что для любой конгруэнции на алгебре ряд

является центральным, т.е.

для любого . В силу известных теорем об изоморфизмах для алгебр (см., например, теоремы II.3.7, II.3.11 5) и леммы 3.2., достаточно показать, что

Пусть – конгруэнция на алгебре , удовлетворяющая определению 2.1. Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом

тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы , что

и

Непосредственной проверкой убеждаемся, что – конгруэнция на алгебре .

Таким образом осталось показать, что удовлетворяет определению 2.1.

Пусть

тогда из соотношения

следует, что

Так как

то . Итак,

Пусть . Тогда для некоторого элемента , и .

Таким образом,

следовательно,

Так как , то это означает, что

Пусть

где

Покажем, что . В силу определения найдутся , что

и

При этом имеют место следующие соотношения:

Следовательно,

Но тогда по определению 3.2.

А так как , то

Теперь из того, что

следует, что

Лемма доказана.

Доказательство следующего результата осуществляется простой проверкой.

Лемма 3.4. Пусть – конгруэнция на алгебре , . Пологая

тогда и только тогда, когда для любого , получаем конгруэнцию на алгебре .

Лемма 3.5. Прямое произведение конечного числа нильпотентных алгебр нильпотентно.

Доказательство:

Очевидно, достаточно показать, что если , и – нильпотентные алгебры, то – нильпотентная алгебра.

Пусть

центральные ряды алгебр и соответственно. Если , то, уплотнив первый ряд повторяющимися членами, получим центральный ряд алгебры длины . Таким образом, можно считать, что эти ряды имеют одинаковую длину, равную .

Построим теперь ряд конгруэнции на алгебре следующим образом:

где тогда и только тогда, когда , , .

Покажем, что последний ряд является центральным, т.е. для произвольного . Так как

то на алгебрах и соответственно заданы конгруэнци и , удовлетворяющие определению 2.1.

Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом:

и только тогда, когда

и

Легко непосредственной проверкой убедиться, что – конгруэнция на алгебре . Осталось показать, что удовлетворяет определению 2.1.

Пусть имеет место

Тогда согласно введенному определению

и

откуда следует, что

т.е.

Пусть

Это означает

Но тогда

и

Следовательно,

Пусть имеет место

Это означает, что

и

Значит, и , т.е. . Лемма, доказана.

Как известно, наследственной формацией называется класс алгебр, замкнутых относительно фактор-алгебр, подпрямых произведений и относительно подалгебр.

Результаты, полученные в леммах 3.1, 3.3, 3.5 можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 7 Класс всех нильпотентных алгебр мальцевского многообразия является наследственной формацией.

Определение 3.3. -арная группа называется нильпотентной, если она обладает таким нормальным рядом

что

и

для любого .

Так как конгруэнции на -арных группах попарно перестановочны (смотри, например, 2), то это дает возможность использовать полученные результаты в исследовании таких групп.

Лемма 3.6. Пусть – -арная группа. и – нормальные подгруппы группы и .

Тогда , где и конгруэнции, индуцированные соответственно подгруппами и на группе .

Доказательство:

Подгруппы и индуцируют на группе конгруэнции и , определяемые следующим образом:

– -арная операция.

Определим на бинарное отношение следующим образом:

тогда и только тогда, когда существуют такие последовательности элементов и из и соответственно, что

Покажем, что – подалгебра алгебры . Для сокращения записи будем в дальнейшем опускать -арный оператор .

Пусть

Так как , то

Так как , то

Поэтому в силу того, что ,

Итак, – подалгебра алгебры .

Пусть – нейтральная последовательность группы , а, следовательно, и группы . Тогда из определения бинарного отношения следует, что

Тем самым доказало, что – конгруэнция на .

Тo, что удовлетворяет определению 2.1, очевидно. Лемма доказана.

Лемма 3.7. Пусть – нильпотентная -арная группа. Тогда удовлетворяет определению 2.1.

Доказательство:

Так как для любого , то индуцирует конгруэнцию на . Таким образом обладает рядом конгруэнции, который в силу леммы 3.6 будет являться центральным. Лемма доказана.

В частности, для произвольной бинарной группы отсюда следует, что нильпотентна тогда и только тогда, когда, удовлетворяет определению 3.2. В этом случае теорема 3.2 просто констатируе тот факт, что класс всех нильпотентных групп образует наследственную формацию.

4. Классы абелевых алгебр и их свойства

Как уже было отмечено в параграфе 3, алгебра называется нильпотентной, если существует такой ряд конгруэнций

называемый центральным, что

для любого .

Определение 4.1. В случае, если для нильпотентной алгебры в центральном ряде , то есть если для нее , то алгебра называется, абелевой.

Лемма 4.1. Любая подалгебра абелевой алгебры абелева.

Доказательство:

Пусть подалгебра абелевой алгебры .

Так как по определению , то на существует такая конгруэнция , что:

1) из

всегда следует

2) для любого элемента

всегда выполняется

3) если

то

Рассмотрим конгруэнцию

Действительно, если

для , то

и для любой -арной опеации имеем

Но поскольку подалгебра алгебры , получаем

Значит, подалгебра алгебры .

Очевидно, что для любого элемента имеет место

Таким образом, конгруэнция ня алгебре .

Пусть

тогда

то Если , то

и, значит,

т.е.

Пусть, наконец,

Тогда

и значит .

Итак, конгруэнция удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.

Лемма 4.2. Фактор-алгебра абелевой алгебры абелева.

Доказательство:

Пусть алгебра – абелева, то есть . Покажем, что для любой конгруэнции на выполняется

Пусть – конгруэнция на алгебре , удовлетворяющая определению 2.1.

Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом:

тогда и только тогда, когда найдуться такие элементы , , , , что

и

Непосредственной проверкой убеждаемся, что – конгруэнция на алгебре .

Таким образом осталось показать, что удовлетворяет определению 2.1. Пусть

тогда

Пусть

Тогда , и по определению 2.1

При этом и . Согласно нашим обозначениям получаем, что

Пусть

Тогда найдутся , что

и

При этом

Следовательно,

Но тогда по определению 3.1. . А так как , то

Теперь из того, что

следует, что

Лемма доказана.

Лемма 4.3. Прямое произведение конечного числа абелевых алгебр абелево.

Доказательство:

Очевидно, достаточно показать, что если , и – абелевы алгебры, то – абелева алгебра.

Пусть и . Это означает, что на алгебрах и заданы cоответсвенно конгруэнции и удовлетворяющие определению 2.1.

Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом:

тогда и только тогда, когда

и

Непосредственной проверкой убеждаемся, что – конгруэнция на алгебре .

Таким образом осталось показать, что удовлетворяет определению 2.1.

Пусть

тогда

Пусть . Это означает, что и . Но тогда

и

Следовательно,

Пусть

тогда

и

Это означает, что и . Таким образом

Лемма доказана.

Результаты, полученные в леммах 4.1, 4.2, 4.3 можно теперь сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 8 Класс всех абелевых алгебр мальцевского многообразия является наследственной формацией.

Пусть – конгруэнция на алгебре . – подалгебра алгебры , и . Тогда введем новое обозначение

Лемма 4.4. Пусть определено множество . Тогда – конгруэнция на ,

Доказательство:

Так как , то для любого элемента всегда найдется такой элемент , что . Следовательно,

где .

Таким образом .