85486 (Абелевы универсальные алгебры), страница 2

1) ;

2) , где ;

3) если выполняется одно из следующих отношений:

4) из всегда следует

Доказательство:

1) Очевидно, что – конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. В силу пункта 1) леммы 2.1. и .

2) – конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. Значит

3) Пусть . Тогда

Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор такой, что

Тогда получим

т.е.

Аналогичным образом показываются остальные случаи из пункта 3).

4) Пусть

Тогда справедливы следующие соотношения:

Следовательно,

где – мальцевский оператор.

Тогда

то есть .

Так как

то .

Таким образом . Лемма доказана.

Следующий результат оказывается полезным при доказательстве последующих результатов.

Лемма. 2.3. Любая подалгебра алгебры , содержащая диагональ , является конгруэнцией на алгебре .

Доказательство:

Пусть

Тогда из

следует, что

Аналогичным образом из

получаем, что

Итак, симметрично и транзитивно. Лемма доказана.

Доказательство следующего результата работы [1] содержит пробел, поэтому докажем его.

Лемма 2.4. Пусть . Тогда для любой конгруэнции на алгебре .

Доказательство:

Обозначим и определим на алгебре бинарное отношение следующим образом:

тогда и только тогда, когда

где

Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что – конгруэнция на алгебре , причем

Пусть

то есть

Тогда

и, значит

Пусть, наконец, имеет место

Тогда справедливы следующие соотношения:

применяя мальцевчкий оператор к этим трем соотношениям, получаем

Из леммы 2.2 следует, что

Так как

то

Значит,

Но , следовательно, .

Итак,

и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.

Лемма 2.5. Пусть , – конгруэнции на алгебре , и – изоморфизм, определенный на .

Тогда для любого элемента отображение определяет изоморфизм алгебры на алгебру , при котором .

В частности, .

Доказательство.

Очевидно, что – изоморфизм алгебры на алгебру , при котором конгруэнции , изоморфны соответственно конгруэнциям и .

Так как

то определена конгруэнция

удовлетворяющая определению 2.1.

Изоморфизм алгебры на алгебру индуцирует в свою очередь изоморфизм алгебры на алгебру такой, что

для любых элементов и , принадлежащих . Но тогда легко проверить, что – конгруэнция на алгебре , изоморфная конгруэнции .

Это и означает, что

Лемма доказана.

Определение 2.2. Если и – факторы на алгебре такие, что

то конгруэнцию обозначим через и назовем централизатором фактора в .

Напомним, что факторы и назыавются перспективными, если либо

либо

Докажем основные свойства централизаторов конгруэнции.

Теорема 6 Пусть , , , – конгруэнции на алгебре . Тогда:

1) если , то

2) если , то

3) если , и факторы , перспективны, то

4) если – конгруэнции на и , то

где , .

Доказательство.

1) Так как конгруэнция централизует любую конгруэнцию и , то

2) Из первого пункта лемы 2.2 следует, что

а в силу леммы 2.4 получаем, что

Пусть – изоморфизм . Обозначим

По лемме 2.5 , а по определению

Следовательно,

3) Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнции и на алгебре имеет место равенство

Покажем вналале, что

Обозначим . Тогда, согласно определению 2.1. на алгебре существует такая конгруэнция , что выполняются следующие свойства:

а) если , то

б) для любого элемента ,

в) если

то

Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом:

тогда и только тогда, когда

и

Покажем, что – конгруэнция на . Пусть

для . Тогда

и

Так как – конгруэнция, то для любой -арной операции имеем

Очевидно, что

и

Следовательно,

Очевидно, что для любой пары

Значит,

Итак, по лемме 2.3, – конгруэнция на . Покажем теперь, что удовлетворяет определению 2.1, то есть централизует . Пусть

11()

Тогда

Так как , и , то . Следовательно, удовлетворяет определению 2.1.

Если , то

значит,

Пусть, наконец, имеет место (1) и

22()

Тогда

Так как и , то , следовательно, . Из (2) следует, что , а по условию . Значит, и поэтому

Тем самым показано, что конгруэнция удовлетворяет определению 2.1, то есть централизует .

Докажем обратное включение. Пусть

Тогда на алгебре определена конгруэнция

удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом:

33()

тогда и только тогда, когда

44()

и , .

Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что – конгруэнция на алгебре . Заметим, что из доказанного включения в одну сторону следует, что . Покажем поэтому, что централизует .

Так как

то

то есть удовлетворяет условию 1) определения 2.1.

Если , то

следовательно,

Пусть имеет место (3) и .

Так как

то

Из (4) следует, что , следовательно,

то есть

На основании леммы 2.2 заключаем, что

Следовательно, .

А так как , то , то есть

4) Обозначим . Пусть

и удовлоетворяет определению 2.1.

Определим бинарное отношение на следующим образом

тогда и только тогда, когда

Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что – конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1.

Это и означает, что

Теорема доказана.

Как следствия, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах.

3. Формационные свойства нильпотентных алгебр

Как уже отмечалось, все алгебры считаются принадлежащими некоторому фиксированному мальцевскому многообразию и используются стандартные обозначения и определения из[1].

Напомним, что для и – конгруэнции на алгебре – говорят, что централизует (записывается: ), если на существует такая конгруэнция , что:

1) из всегда следует

2) для любого элемента всегда выполняется

3) если , то

Очевидно, что для любой конгруэнции на алгебре конгруэнция централизует . В этом случае .

Заметим, что если и – конгруэнции на группе и , то для нормальных подгрупп и группы и любых элементов , имеют место следующие соотношения:

Тогда

и в силу транзитивности из этих соотношений следует, что

По определению 2.1 получаем, что

Следующее определение центральности принадлежит Смиту 3.

Определение 3.1. , если существует такая , что для любого ,

Докажем, что определение 2.1. эквивалентно определению 3.1. означает условие 1) из определения 2.1. И наоборот, условие 1) означает, что .

Пусть и – конгруэнции, удовлетворяющие определению 2.1. Из условия 2) следует, что для любого элемента ,

Докажем обратное включение.

Пусть . Так как , то из условия 2) следует, что

В силу транзитивности имеем

и, значит, в силу условия 3) . Итак

Покажем, что из определения 3.1. следуют условия 2) и 3) определения 2.1. Если , то

Это означает .

Для получаем, что

откуда .

Согласно работе 3

Определение 3.2. Алгебра называется нильпотентной, если существует такой ряд конгруэнции

называемый центральным, что

Лемма 3.1. Любая подалгебра нильпотентной алгебры нильпотентна.

Доказательство:

Пусть – подалгебра нильпотентной алгебры . Так как обладает центральным рядом

то для любого на алгебре существует конгруэнция удовлетворяющая определению 2.1. А именно, из

всегда следует

и

1) для любого элемента

всегда выполняется

2) если

и

то

Заметим, что в дальнейшем, для сокращения записи, будем учитывать тот факт, что

тогда и только тогда, когда

Построим следующий ряд конгруэнции на алгебре :

где

Покажем, что этот ряд является центральным. Для этого на алгебре для любого определим бинарное отношение следующим образом:

тогда и только тогда, когда

Покажем, что – конгруэнция на алгебре . Пусть

Тогда

и для любой -арной операции имеем

Следовательно,

Итак, – подалгебра алгебры .

Очевидно, что для любого элемента имеет место

Таким образом, согласно лемме 2.3, – конгруэнция на алгебре .

Пусть

Тогда и так как , то

Если , то и, значит,

т.е.

Пусть, наконец,

Тогда

и так как