85486 (Абелевы универсальные алгебры)

Курсовая работа

"Абелевы универсальные алгебры"

Содержание

Введение

1. Основные определения, обозначения и используемые результаты

2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр

3. Формационные свойства нильпотентных алгебр

4. Классы абелевых алгебр и их свойства

Заключение

Список литературы

Введение

Теория формаций алгебраических систем, как самостоятельное направление современной алгебры, начало развиваться сравнительно недавно, в конце 60-х годов прошлого столетия. Отметим, что за последующие четыре десятилетия в таких классических областях исследования, как группы, кольца, алгебры Ли, мультикольца и т.д. формационные методы получили довольно широкое развитие. В теории же универсальных алгебр формационные методы не находят такого широкого применения, что, в первую очередь, связано со сложностью самого объекта исследований. Поэтому получение новых результатов, касающихся формационных свойств универсальных алгебр, представляет несомненный интерес. Именно этой задаче посвящается настоящая курсовая работа. Здесь на основе определения централизатора конгруэнции, введенного Смитом 3, дается определение абелевои алгебры и доказывается основной результат, что класс всех универсальных абелевых алгебр из мальцевского многообразия образует наследственную формацию. Также рассматривается и свойства абелевых универсальных алгебр.

Перейдем к краткому изложению результатов курсовой работы, которая включает в себя введение, четыре параграфа и список цитируемой литературы из восьми наименований.

1 является вспомогательным. Здесь приводятся основные определения, обозначения и результаты, используемые в дальнейшем.

2, 3 носят реферативный характер. Здесь подробно с доказательствами на основании результатов работ [1] и [2] излагается теория централизаторов конгруэнции универсальных алгебр и рассматриваются формационные свойства нильпотентных алгебр работы[3]. Сразу же отметим, что все рассматриваемые универсальные алгебры принадлежат фиксированому мальцевскому многообразию.

В 4, который является основным, на основании результатов 3 вводится понятие абелевой алгебры. Используя методы исследования работы [1] доказывается следующий основной результат: класс всех универсальных абелевых алгебр из мальцевского многообразия образует наследственную формацию.

1 Основные определения, обозначения и используемые результаты

Приведем определения основных понятий, используемых в данной работе из источников [1] и[2]. Для введения понятия алгебы необходимо сначала определить -арные операции.

Определение 1.1. Если – непустое множество и , то -арной операцией на множестве назовем отображение прямого произведения в . Рассматриваются и -арные операции, которые по определению, отмечают некоторый элемент из .

Определение 1.2. Пара , где – непустое множество, а (возможно, пустое) множество операций на , называется универсальной алгеброй или, короче, алгеброй.

Совокупность операций (или опрерационных символов) будем называть сигнатурой. Часто, при введении алгебры, указывают только множество и не указывают сигнатуру.

Элемент алгебры отмечаемый -арной операцией . будем обозначать через .

Определение 1.3. Подмножество называется подалгеброй, если для всякой -арной операции ,

а если и – -арная операция из , то

Определение 1.4. Если , – алгебры сигнатуры , то прямое произведение

становиться алгеброй той же сигнатуры, если для каждой -арной операции положить

а для -арной операции , где , –

Возникающая таким образом алгебра называется прямым произведением алгебр .

Приведем некоторые определения из 8

Определение 1.5. Отображение из алгебры в алгебру называется гомоморфизмом, если для любых элементов и любой -арной операции ( ) справедливо равенство

Если же – нульарная операция, то полагаем

Взаимнооднозначный гомоморфизм алгебры на называется изоморфизмом и обозначается . Гомоморфизм алгебры в себя называется эндоморфизмом алгебры . Изоморфизм алгебры в себя называется ее автоморфизмом.

Определение 1.6. Конгруэнцией на алгебре называется всякая подалгебра прямого квадрата , обладающая следующими свойствами:

1) (рефлексивность): для всех ;

2) (симметричность): если , то ;

3) (транзитивность): если и , то .

Отметим, что условия 1) – 3) означают, что – эквивалентностъ на множестве .

Определение 1.7. Пусть – гомоморфизм алгебры в . Ядром гомоморфизма называется подмножество

В работе [3] приводятся следующие теоремы об изоморфизмах

Теорема 1 Ядро гомоморфизма является конгруэнцией.

Определение 1.8. Если – конгруэнция на алгебре и , то множество

называется классом конгруэнции . Множество всех классов конгруэнции обозначают через . При этом для каждой -арной операции считают , а для -арной операции , где , – . Получившуюся алгебру называют фактор-алгеброй алгебры по конгруэнции .

Теорема Первая теорема об изоморфизмах 2 Если – гомоморфизм алгебры в , то

Теорема Вторая теорема об изоморфизмах 3 Пусть конгруэнция на алгебре , – подалгебра алгебры . Тогда

Определение 1.9. Если , – конгруэнции на алгебре и содержится в , то обозначим

и назовем фактором алгебры или фактором на .

Теорема Третья теорема об изоморфизмах 4 Пусть – фактор на алгебре . Тогда

Определение 1.10. Если и – конгруэнции алгебры , то полагают

Теорема 5 Произведение двух конгруэнции является конгруэнцией тогда и только тогда, когда они перестановочны.

Определение 1.11. Класс алгебраических систем называется формацией, если выполняются следующие условия:

1) каждый гомоморфный образ любой -системы принадлежит ;

2) всякое конечное поддекартово произведение -систем принадлежит .

Определение 1.12. Формальное выражение , где и – слова сигнатуры в счетном алфавите , называется тождеством сигнатуры . Скажем, что в алгебре выполнено тождество , если после замены букв любыми элементами алгебры и осуществления входящих в слова и операций слева и справа получается один и тот же элемент алгебры , т.е. для любых в алгебре имеет место равенство

Определение 1.13. Класс алгебр сигнатуры называется многообразием, если существует множество тождеств сигнатуры такое, что алгебра сигнатуры принадлежит классу тогда и только тогда, когда в ней выполняются все тождества из множества . Многообразие называется мальцевским, если оно состоит из алгебр, в которых все конгруэнции перестановочны.

2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр

Напомним, что класс алгебр сигнатуры называется многообразием, если существует множество тождеств сигнатуры такое, что алгебра сигнатуры принадлежит классу тогда и только тогда, когда в ней выполняются все тождества из множества .

Многообразие называется мальцевским, если оно состоит из алгебр, в которых все конгруэнции перестановочны.

Все алгебры считаются принадлежащими некоторому фиксированному мальцевcкому многообразию. Используются стандартные обозначения и определения из[2].

В данной работе конгруэнции произвольной алгебры будем обозначать греческими буквами.

Если – конгруэнция на алгебре , то

смежный класс алгебры по конгруэнции . или – диагональ алгебры .

Для произвольных конгруэнции и на алгебре будем обозначать множество всех конгруэнции на алгебре таких, что

тогда и только тогда, когда

Так как , то множество не пусто.

Следующее определение дается в работе[2].

Определение 2.1. Пусть и – конгруэнции на алгебре . Тогда централизует (записывается: ), если на существует такая конгруэнция , что:

1) из

всегда следует

2) для любого элемента

всегда выполняется

3) если

то

Под термином «алгебра» в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие .

Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом[3], сформулируем в виде леммы.

Лемма 2.1. Пусть . Тогда:

1) существует единственная конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1;

2) ;

3) если

то

Из леммы 2.1. и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции на алгебре всегда существует наибольшая конгруэнция, централизующая . Она называется централизатором конгруэнции в и обозначается .

В частности, если , то централизатор в будем обозначать .

Лемма 2.2. Пусть , – конгруэнции на алгебре , , , . Тогда справедливы следующие утверждения: