Тройку объектов <,A,P> называется вероятностным пространством. Для того чтобы показать как практически реализуется процесс построения вероятностного пространства по Колмогорову, рассматриваются такие испытания, элементарными исходами которых будут действительные числа (или – точки вещественной оси).

Однако, если мы будем в качестве алгебры событий, то есть в качестве области определения вероятностной функции P брать -алгебру всех подмножеств множества действительных чисел, то получится очень необозримая алгебра множеств, на которой будет невозможно задать числовую функцию. Поэтому в качестве алгебры случайных событий предлагается взять алгебру борелевских множеств. Так как мы знаем как строится, конструируется из простейших множеств – полуинтервалов любое борелевское множество, то тогда, исходя из определения функции P на полуинтервалах, можно будет определить вероятностную функцию на всей -алгебре борелевских множеств действительных чисел.

Приступая к практическому рассмотрению возможных типов и конкретных примеров вероятностных функций, в качестве множества элементарных исходов рассматриваются множества двух типов.

I тип. - множества вещественных чисел, имеющие не более чем счетную мощность и лебегову меру равную нулю, то есть = n или a и ()=0.

II тип. - множества вещественных чисел, имеющие мощность континуум и положительную лебегову меру, то есть = c и ()>0.

Соответственно этим двум типам множеств элементарных исходов определяются два типа вероятностных функций.

Функция P называется вероятностной функцией дискретного типа, если область её определения есть множество первого типа, а множеством ее возможных значений является не более чем счетное множество положительных чисел таких что .

Функция P называется вероятностной функцией непрерывного типа, если областью её определения является множество второго типа. Задаётся такая функция с помощью определения кусочно-непрерывной неотрицательной функции , называемой плотностью вероятностей, такой что

Вероятность любого случайного события A, являющегося элементом алгебры B( ), в зависимости от типа функции P определяется так:

или .

Модуль 3. Случайные величины и векторы

Цель модуля: На основе понятия функции, как правиле отображения одного множества в другое, ознакомиться с понятием случайной величины. Понять универсальность использования случайной величины в решении различных практических задач. Изучить типы случайных величин и наиболее часто встречающиеся на практике законы распределения вероятностей.

Решая конкретную задачу по теории вероятностей, мы, прежде всего, определяем чёткое название элементарного исхода. Все возможные элементарные исходы объединяются во множество элементарных исходов . Формулируя названия различных подмножеств множества элементарных исходов, определяем алгебру случайных событий A. На измеримом пространстве <,A,> Разумным способом определяем вероятностную функцию P. То есть, при решении задачи строится вероятностное пространство <,A, P >. Значения вероятностной функции на каждом случайном событии мы трактуем как вероятность наступления этого случайного события.

Элементарными исходами, образующими множество , могут быть объекты любой природы: наборы шаров различных цветов, наборы деталей различного качества, наборы карт различных номиналов, полученные каким-либо способом, определяемым условием испытания; последовательности событий A и , наступающих при проведении одинаковых испытаний по какому-либо правилу. Введение понятия случайной величины позволяет каждому элементарному исходу, независимо от его природы/ поставить в соответствие некоторый элемент (точку) из пространства .

Случайная величина – это измеримое отображение множества элементарных исходов в пространство , то есть . Измеримость отображения означает, что для любого борелевского множества B, B( ), вероятность случайного события равна вероятности случайного события A, где событие A, являющееся элементом алгебры А A, есть полный прообраз множества В. То есть, , где .

В соответствии с типом вероятностной функции P, описывающей распределение вероятностей значений случайной величины , рассматриваются два типа случайных величин: дискретный и непрерывный.

Для любого испытания, определяющего элементарные исходы как объекты некоторой природы (наборы карт, выборки шаров, извлеченные детали и т.п.), мы можем теперь, с помощью понятия случайной величины, случайные события трактовать как числовые, борелевские множества в пространстве .

Переход к трактовке случайных событий, независимо от содержания условия задачи, как числовых множеств точек в , являющихся борелевскими множествами, позволяет ввести определение функции распределения случайной величины.

Для любой точки пространства множество, точек принадлежащих интервалу , обозначим Ясно, что - борелевское множество. Случайное событие можно трактовать так: случайная величина принимает числовые значения меньшие, чем x, т.е.: . Для каждого x мы можем определить вероятность события , то есть число . Если x будет переменной величиной, то эта вероятность будет функцией от этого x. Эту функцию, обозначим её , будем называть функцией распределения случайной величины : .

Если - дискретного типа, то её функция распределения имеет вид: . Если - непрерывного типа, то её функция распределения имеет вид: .

Независимо от типа случайной величины вероятность любого случайного события B, то есть , будет равна приращению значения функции распределения на множестве B: .

По любой вероятностной функции P можно построить функцию распределения . Справедливо и обратное утверждение: всякая функция, обладающая тремя рассмотренными свойствами, является функцией распределения и по ней можно единственным образом построить вероятностную функцию P.

Рассматривая композицию отображений , приходим к понятию k-той компоненты векторной случайной величины: , где и к представлению Частная вероятностная функция и частная функция распределения каждой той компоненты определяется по вероятностной функции P и функции распределения векторной случайной величины .

Понятие независимости случайных величин – одно из важнейших понятий теории вероятностей. Оно вводится как понятие независимости компонент векторной случайной величины .

Компоненты называются независимыми, если для любого множества , принадлежащего , вероятность равна произведению вероятностей , , где - проекция множества на . Рассматриваются три формы критерия независимости случайных величин. Показывается, что по распределению вероятностей вектора всегда можно найти распределения вероятностей его компонент, а по распределениям вероятностей компонент не всегда можно построить распределение вероятностей исходного вектора.

Модуль 4. Числовые характеристики случайных величин и векторов

Цель модуля: На основе расширения понятия интеграла как интеграла от непрерывной функции по вероятностной мере определить понятия числовых характеристик. Показать на основе механической и геометрической интерпретации распределения вероятностной меры вероятностный смысл числовых характеристик. Научиться вычислять значения числовых характеристик и понимать их роль в изучении особенностей законов распределения случайных величин.

Использование определения интеграла Римана-Стилтьеса от непрерывной функции по вероятностной функции P позволяет в единой форме и независимо от типа случайной величины , определять:

а) законы распределения функций случайных величин;

б) значения различных числовых характеристик случайных величин.

И в определении интеграла Римана, и в определении интеграла Римана-Стилтьеса область Q , по которой производится интегрирование, разбивается на отрезки В определении интеграла Римана при составлении интегральных сумм Дарбу используется мера Лебега – длина этих отрезков: . В определении интеграла Римана-Стилтьеса при составлении интегральных сумм, аналогичных суммам Дарбу, используется вероятностная мера этих отрезков: . В зависимости от типа вероятностной функции P интеграл Римана-Стилтьеса есть или сумма числового ряда, или определённый интеграл Римана.

Закон распределения случайной величины, записанный в одной из его форм с помощью вероятностной функции P или с помощью функции распределения , даёт нам всю информацию об исследуемой случайной величине . Числовые характеристики дают меньше информации о характере распределения возможных значений случайной величины , но в них аккумулированы наиболее характерные её свойства, которые позволяют нам судить о некоторых важнейших особенностях случайной величины. Такими характеристиками являются начальные и центральные моменты случайной величины, а так же – функции от них.