br_1_ (Хороший учебник), страница 7

Рассмотренные в предыдущем разделе плоские
волны в природе никогда не осуществляются. В
самом деле , по условию, эти волны представляют
строго периодический процесс, а для этого они
должны иметь бесконечное протяжение в
пространстве и во времени. Реальные же волны
всегда ограничены в пространстве и испускаются
в течение ограниченных промежутков времени, а
потому и не являются строго гармоническими.

Поэтому мы можем их рассматривать как
результат суперпозиции строго гармонических
плоских волн, которые в одной части
пространства усиливают друг друга, а в остальном
пространстве друг друга погашают (это явление
называется интерференцией волн). Такие
сложные волны имеют некоторые важные
особенности, которые мы выясним на примере
суперпозиции двух плоских гармонических волн.

Положим, что обе эти волны с одинаковой
амплитудой А распространяются вдоль оси ОХ и

Это важное соотношение, связывающее
частоту со с волновым числом к, характерно для
природы волны и называется дисперсионным
уравнением.

Вместо того, чтобы писать в левой части (7.11)
сумму вторых частных производных по
координатам, мы можем представить ее так:

32

4. Дисперсия

Обратимся теперь к рассмотрению обеих
скоростей волн — фазовой и групповой — и
сравним их между собой. Из определения
фазовой скорости (7.19) следует, что

скоростью волн. Для того, чтобы ее отыскать,
напишем условие постоянства фазы волны:

Тогда групповая скорость (см. (7.20))

откуда фазовая скорость

Найдем теперь отдельно скорость

перемещения определенной амплитуды волны
Очевидно, что эта скорость совпадает со
скоростью перемещения группы в целом; она
называется поэтому групповой скоростью. Для
отыскания ее пишем, по аналогии с предыдущим,
условие постоянства амплитуды:

Если фазовая скорость v, образующих пакет
гармонических волн, не зависит от к (или X), то
говорят, что среда, в которой распространяется
волна, не обладает дисперсией. В этом случае

Отсюда находим

и будем называть групповой скоростью:

Мы видим, таким образом, что обе эти
скорости: фазовая и групповая, выражаются
различными формулами. Чтобы разобраться в
соотношении между ними, нужно рассмотреть
условия распространения волн в различных
средах.

Можно показать, что путем суперпозиции
плоских волн можно осуществить волновой
процесс, в котором амплитуда отлична от нуля
только в небольшой части пространства Δх, а в
остальном пространстве равна нулю. Для этого
нужно, чтобы волновые числа плоских волн
лежали в некотором интервале Δк, причем

Соотношение (7.21), как мы узнаем позже,
приводит к знаменитым соотношениям
неопределенностей Гейзенберга в квантовой
механике.

При наличии же дисперсии групповая скорость
не совпадает с фазовой, а именно, в зависимости
от знака производной dv/dk групповая скорость

говорят, что среда обладает нормальной
дисперсией, а во втором — аномальной. В оптике
осуществляются оба эти случая. Так, в вакууме

Возникает вопрос: какая же из этих скоростей
измеряется на опыте при определении, например,
скорости света. Анализ различных методов
измерения скорости света показывает, что ни
один из них не дает возможности определить
фазовую скорость, но все они дают групповую
скорость.

Из сказанного следует, что фазовая скорость в
точном соответствии со своим названием дает
лишь скорость перемещения определенной фазы
и, как показывает более строгий анализ,
совершенно не связана, например, со скоростью
движения фронта ограниченного в пространстве
пакета волн (сигнала) или со скоростью движения
энергии волны, которые определяются как раз
групповой скоростью.

Именно поэтому возникновение фазовой
скорости, большей скорости света в пустоте с, ни
в коем случае не противоречит утверждению
теории относительности (см. следующую лекцию)
о том, что скорость света в пустоте есть
предельная скорость.

В частности, в оптике доказывается, что
скорость фронта волны при любых условиях
равна с, т.е. скорости света в пустоте.

33

Лекция 8. КИНЕМАТИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (СТО)

Постулаты СТО; преобразования Лоренца; следствия из преобразований
Лоренца.

1. Постулаты СТО.

Как уже говорилось в лекции 1, законы
ньютоновской (классической) механики

становятся неприменимыми при изучении
движения частиц, скорости v которых сравнимы
со скоростью света в пустоте с =3 10⁸ м/с. В этом
случае следует использовать законы так
называемой специальной теории

относительности (СТО), созданной

А. Эйнштейном в 1905 году. В основе СТО лежат
два постулата.

1. Постулат относительности.

Все явления природы (механические,
электромагнитные, оптические и т. д.) протекают
одинаково во всех инерциальных системах
отсчета (ИСО), то есть все законы природы
выглядят одинаково во всех инерциальных
системах отсчета. Данный постулат является
обобщением принципа относительности Галилея,
относящегося только к механическим явлениям,
на все явления природы.

2. Постулат постоянства скорости света.

Скорость света в пустоте одинакова во всех
системах отсчета, независимо от относительного
движения источника света и наблюдателя. Следует
отметить, что этот постулат подтвержден
многочисленными тонкими экспериментами.

В классической механике для перехода от
одной ИСО к другой, движущейся равномерно
относительно первой, используются так
называемые преобразования Галилея.

Рассмотрим две декартовы прямоугольные
системы координат K(x,y,z) и K'(x',y',z') (рис.
8.1). Пусть их оси ОХ и ОХ' совпадают и
положим, что система К' равномерно движется со

какой —либо точки Р в К и К' связаны
соотношениями:

К этим трем соотношениям следует добавить
еще соотношение для времени: время в обеих
системах с точки зрения классической механики

топот плиняклип тп с*сти

Формулы (8.1) и (8.2) представляют собой
имеющие место в ньютоновской механике так
называемые преобразования Галилея. Легко
убедиться, что уравнения ньютоновской механики
не изменяют своего вида при замене координат и
времени согласно этим формулам, или, как
говорят, уравнения механики Ньютона
инвариантны относительно преобразований
Галилея, то есть законы механики Ньютона
выглядят одинаково во всех ИСО.

В самом деле, напишем второй закон Ньютона
для частицы m в проекции на ось ОХ' системы К':

Дифференцируем первое соотношение (8.1) по
времени t':

или

скоростью v относительно К вдоль оси ОХ,
причем в момент t = 0 их начала координат О и О'
совпадают. Совершенно очевидно, что координаты

Это известная теорема сложения скоростей в
механике Ньютона.

Дифференцируя (8.4) второй раз, получим

Итак, левые части ньютоновских уравнений не
меняются при преобразованиях Галилея. В правых
же частях этих уравнений стоят компоненты
силы, зависящие только от расстояний которые не
меняются при использовании преобразований
Галилея.

Действительно, расстояние между любыми
двумя точками A(x',y',z') и B(x',y',z')

34

Подставляя (8.5) и (8.6) в (8.3), получим:

одинаково во всех ИСО, если использовать
преобразования Галилея. Поэтому эти
преобразования не меняют компонентов сил, то
есть

то есть преобразования Галилея не меняют
ньютоновских уравнений движения, или, как
говорят, эти уравнения инвариантны относительно
преобразований Галилея, что является
математической формулировкой принципа
относительности Галилея: законы механики
выглядят одинаково во всех ИСО.

Первый постулат СТО согласуется с этим
принципом и обобщает принцип относительности
на другие явления, в частности, на законы
распространения света. Однако одновременное
применение обоих постулатов СТО находится в
противоречии с преобразованиями Галилея. В
самом деле, если применить теорему сложения
скоростей (8.4) к свету, то получается, что, если
скорость света в системе К равна с, то в системе
К' она должна быть равна с' = с —v, что
противоречит второму постулату СТО.

Так как, однако, оба эти постулата
подтверждаются всеми известными

экспериментальными фактами, то противоречие
имеется не между постулатами, а между
постулатами и преобразованиями Галилея: эти
преобразования неприменимы к распространению
света и к движениям со скоростями, близкими к
скорости света, то есть "очевидные"
преобразования Галилея следует заменить
новыми, но такими, чтобы они переходили в
преобразования Галилея при движениях со
скоростями v « с.

2. Преобразования Лоренца.