br_1_ (Хороший учебник), страница 4

поступательного движения тела (скорость v₀,
естественно, расположена в плоскости XOY).
Далее будем считать, что все силы f_k ,

действующие на тело, параллельны плоскости
XOY. Тогда уравнение поступательного движения
тела можно записать в виде:

центра масс тела. Уравнение (3.12) проектируется
на оси ОХ и OY.

Уравнение вращательного движения тела
вокруг оси OZq, проходящей через центр масс
тела перпендикулярно неподвижной плоскости

16

XOY, совпадает по форме с уравнением
вращательного движения тела вокруг
закрепленной оси (3.9):

Последнее утверждение (его можно строго
доказать!) выглядит довольно странным, так как
уравнение (3.9) было написано относительно ИСО,
система же отсчета (ось OZo), в которой
происходит вращение тела, не является
инерциальной, так как центр масс тела движется с
ускорением а₀. Тем не менее это так, и связан

этот факт именно с тем, что мы выбрали в
качестве точки О при рассмотрении
поступательного движения центр масс тела. При
решении конкретных задач уравнения (3.12) и
(3.13) следует еще дополнить кинематическими

Для этого воспользуемся условием отсутствия
проскальзывания цилиндра. Если нет
проскальзывания, то точка А (см. рис.3.7),
находящаяся на поверхности цилиндра и
соприкасающаяся с наклонной плоскостью, в
любой момент времени неподвижна в системе
XOY. С другой стороны, эта точка движется

В качестве примера рассмотрим движение
сплошного цилиндра радиусом R и массой М,
скатывающегося без проскальзывания с
наклонной плоскости, составляющей угол а с
горизонтом (рис.3.7). На цилиндр действуют три

силы: сила тяжести Мд, реакции опоры N и сила

трения покоя ?. Уравнение поступательного
движения в проекциях на оси ОХ и OY имеет вид:

Подставляя (3.16) в (3.15) и исключая f с
помощью (3.14), окончательно получим

6. Закон сохранения момента
импульса

В заключение отметим, что если тело
вращается вокруг закрепленной в пространстве
оси, и на него не действуют внешние силы, то из

Уравнение вращательного движения

относительно оси OZq (направленной от нас)
выглядит следующим образом:

цилиндра относительно оси OZq и R (радиус

цилиндра) - плечо силы f . Так как силы тяжести
и реакции опоры проходят через ось OZq, их

подразумевающейся нами неизменности самого
тела при вращении, т.е. неизменности его
момента инерции. Если же взаимное
расположение частей тела (а тем самым и момент
инерции) меняется, то при свободном вращении

17

Лекция 4. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

Работа постоянной и переменной силы; теорема о кинетической энергии;
потенциальные силы; потенциальная энергия; закон сохранения энергии.

1. Работа постоянной и переменной
силы

Из школьного курса физики мы знаем, что при
движении частицы по прямолинейной траектории
постоянная по величине и направлению сила

f совершает над частицей работу

где f — модуль силы, As — отрезок
прямолинейного пути и а — угол между
направлениями силы и перемещения. Выражение
(4.1) можно записать в виде

Интеграл в правой части (4.3) называется
криволинейным интегралом 1-го рода. Из (4.3)
следует, что при движении частицы из точки 2 в
точку 1 по той же самой траектории работа силы

f :

Вспомним теперь, что ds = |dr|, где dr —
вектор бесконечно малого перемещения. Тогда

где f_s — проекция силы на перемещение. Из
определения работы видно, что последняя может
быть как положительной, когда f_s>0, так и
отрицательной, когда f_s<0, и равной нулю, когда
сила перпендикулярна перемещению.

Спрашивается, как найти работу силы f ,
которая в разных точках траектории движения
различна по величине и направлению (говорят,
что частица движется в неоднородном силовом

поле f(x,y,z))_r а сама траектория криволинейна
(см. рис.4.1).

Поступают следующим образом. Всю
траекторию от начальной точки 1 до конечной 2
разбивают на бесконечно малые участки ds,
которые в силу своей бесконечной малости можно
считать прямолинейными. Опять же в силу того,
что путь ds бесконечно малый, можно считать, что

сила f остается постоянной как по величине, так и
по направлению на этом участке пути ds. Тогда,

Работа же силы f на конечном участке
траектории от начальной точки 1 до конечной 2

согласно (4.1), элементарная работа силы f на
пути ds

Последний интеграл называется

криволинейным интегралом 2-го рода,

вычисление которого, как правило, проще, чем
вычисление криволинейного интеграла 1-го рода.

Мощностью силы f называется работа силы в
единицу времени.

Так как за бесконечно малое время dt сила

совершает работу dA = f_sds = fdr, то мощность

2. Теорема о кинетической энергии

ускорение частицы, получим

Пусть частица массой m движется из точки 1 в
точку 2 по криволинейной траектории под

18

Сокращая на dt и преобразуя левую часть

Интегрируя теперь (4.8) от начальной точки 1
до конечной 2, получим окончательно:

где v_{ — скорость тела в начале и v₂ — в конце.
Выражение

называется кинетической энергией

материальной точки, а (4.9) — теоремой о
кинетической энергии: приращение

в точку 2 вдоль кривой а, а затем из точки 2 назад
в точку 1 вдоль кривой Ь. Общая работа, которая
производится при этом консервативной силой

т.е. работа не зависит от вида кривой,
соединяющей начальную и конечную точки 1 и 2.
Этот факт свидетельствует о том, что работа
консервативной силы является величиной,
имеющей глубокое физическое содержание.

4. Потенциальная энергия

Определим теперь важную характеристику
потенциального силового поля. Примем для этого
какую-либо точку в пространстве, которую

3. Потенциальные силы

Среди всех сил в природе существует целый
класс сил (не изменяющихся со временем),
обладающих следующим замечательным

свойством: если частица движется по замкнутому
пути, так что в результате движения она
возвращается в исходную точку, то работа,
совершаемая при этом силой, будет равна нулю.
Силы, обладающие таким свойством, называются
консервативными, или потенциальными. Если

сила f консервативна, то математически условие
потенциальности можно записать в следующем
виде:

где кружок означает, что интеграл вычисляется по
замкнутому пути L.

Кстати, интеграл типа (4.11) для произвольного

вектора А по замкнутому контуру L. Таким

образом, сила f потенциальна, если ее
циркуляция по любому замкнутому контуру равна
нулю.

Условие потенциальности можно

сформулировать другим способом: работа
консервативной силы при переносе частицы из
какой-то начальной точки 1 в конечную 2 не
зависит от вида пути, по которому происходит
перенос, а определяется только положением
начальной и конечной точек.

Действительно, рассмотрим две точки 1 и 2 и
соединим их двумя кривыми а и b (рис.4.2).
Предположим, что частица переводится из точки 1

обозначим через О, за начало отсчета и будем
рассматривать работу консервативной силы при
переходе частицы из какой-либо произвольной
точки P(x,y,z) в точку О (рис.4.3). Величина этой
работы называется потенциальной энергией
частицы.находящейся в точке Р, в потенциальном
силовом поле.

Она является функцией координат х, у, z
точки Р в неподвижной системе отсчета, т.е.

Работа консервативной силы ? (рис.4.3) при
переходе частицы из точки 1 в точку 2 (работа не
зависит от пути!):

т.е. работа консервативной силы равна убыли
потенциальной энергии.

19

Это значит, что проекция силы на некоторое
направление s равна производной от U по
направлению s. Выражение (4.15) можно записать
в виде

откуда следует ( поскольку dU является полным
дифференциалом), что

лежит ниже нулевого уровня, z<0 и
потенциальная энергия отрицательна.

Пусть теперь имеются две частицы Мит,
которые притягиваются друг к другу силой

частицы m в точке Р, расположенной на
расстоянии г от М. Нулевой уровень выбираем на
бесконечном расстоянии от частицы М. Тогда

Тогда (4.17) принимают вид:

Такие фундаментальные силы в природе, как
гравитационная и электрическая, являются силами
консервативными, для которых можно ввести
соответствующие потенциальные энергии. Так,
например, если частица m находится вблизи
поверхности Земли, то на нее действует
гравитационная сила тяжести mg, являющаяся
консервативной.

Выбираем точку О (начало отсчета
потенциальной энергии) на какой-то высоте над
поверхностью Земли и находим потенциальную

Такое же выражение мы получим, если
зафиксируем частицу m и будем перемещать на
бесконечность частицу М, поэтому потенциальная
энергия (4.21) называется потенциальной
энергией гравитационного взаимодействия двух
частиц m и М. Она обращается в нуль, когда
частицы удалены друг от друга на бесконечно
большое расстояние. Эта же формула остается
справедливой, если частица m находится вне
однородного шара массой М (например, планеты).
В этом случае г — расстояние от частицы m до
центра шара.

Сила упругости пружины f = kx тоже
является консервативной. Нетрудно показать, что
потенциальная энергия деформированной
пружины