86422 (Кручение стержней), страница 5

§3.1 Чистое кручение стержней постоянного сечения

. Допущения

При решении задачи о чистом кручении стержней следуют "полуобратному методу" Сен-Венана, полагая

где z - ось стержня.

2. Основные уравнения

При принятых допущениях расчетные уравнения будут:

Статистические уравнения

(85)

Краевые условия

на боковой поверхности

(86)

на торцах (z=0 и z=l)

(87)

где Mz крутящий момент.

Геометрические уравнения

(88)

(89)

. Решение задачи посредством функции Прандля

Напряжения выражают через функцию по формулам:

(90)

Согласно уравнениям (89)

(91)

Интегрированием уравнений (88) находят, отбросив члены, представляющие перемещение стержня как твёрдого тела:

(92)

где угол закручивания на единицу длины стержня.

Из двух последних уравнений (88) получают уравнение

откуда

(93)

. Свойства функции Прандля

Из уравнения (86) (рис.18)

рис.18

и, следовательно, на контуре сплошного стержня

(94)

Касательное напряжение в любой точке сечения направлено по касательной к линии , проходящей через эту точку, и пропорционально быстроте изменения по нормали к этой линии:

(95)

Согласно теореме о циркуляции касательного напряжения (Бредт, 1896 г.)

(96)

где площадь сплошного сечения, ограниченная рассматриваемой кривой.

Согласно третьему уравнению (87)

(97)

где дифференциал функции напряжений (95); F - площадь сечения (включая отверстия).

§3.2 Чистое кручение круглых стержней (валов) переменного сечения

. Допущения

При кручении вала переменного сечения (рис. 19) задача решается

рис.19

в цилиндрических координатах при следующих допущениях:

(98)

. Основные уравнения

При принятых допущениях (98) расчетные уравнения будут:

Геометрическое уравнение

(99)

Уравнения закона Гука

(100)

Статические уравнения

При отсутствии объемных сил из уравнений равновесия остается лишь одно:

а остальное удовлетворяются тождественно.

Последнее уравнение можно записать в форме:

(101)

и тождественно удовлетворить введением функции напряжений по формулам:

(102)

Решая совместно уравнения (100) и (102) получаем:

(103)

Если боковая поверхность свободна от внешних сил, то результирующее касательное напряжение направлено по касательной к контуру осевого сечения, а его проекция на нормаль v равна нулю. В этом случае имеем:

Где

Приняв во внимание формулы (92), получим:

откуда следует, что на контуре

(104)

на торцах (z=0 и z=l)

(105)

где a - радиус рассматриваемого поперечного сечения, определяемый уравнением образующей.

Если на боковой поверхности действует нагрузка p, то

,

Откуда

и вместо формулы (104) получим:

(106)

. Решение дифференциального уравнения кручения вала

Возможны различные формы решений уравнения (103)

В степенных функциях.

Полагаем

(107)

Подставляя значение в уравнение (103), находим n=4 и m=1, откуда

(108)

и напряжения принимают вид:

(109)

Из формул (109) получаем ряд частных случаев, например при A=D=0 и B=1 - элементарное решение задачи о кручении круглого вала. В этом случае

и на основании формулы (105)

В функциях Бесселя.

Полагая

где R(r) - функция переменной r, а Z(z) - переменной z, и подставляя в уравнение (103), получаем:

(110)

где некоторое число.

Уравнения (110) имеют следующие два решения:

(111)

(112)

где,

функция Бесселя второго порядка действительного аргумента соответственно первого и второго рода;

функция Бесселя второго порядка мнимого аргумента соответственно первого и второго рода.

Напряжения определяют по формулам:

(113)

И (114)

где J1, Y1, I1, K1 - функция Бесселя первого порядка.

В функциях Лежандра.

Дифференциальное уравнение кручения валов переменного сечения (103) в криволинейных, ортогональных, изотермических координатах имеет вид:

(115)

где криволинейные, ортогональные, изотермические координаты в плоскости осевого сечения вала.

Координаты в плоскости (см. рис.19) связаны с координатами r и z соотношениями:

(116)

и обратно

Полагая

где функция , а функция , и подставляя в уравнение (115), получаем, учтя формулы (116), два уравнения:

(117)

где n- некоторое постоянное число.

Из первого уравнения (117), принимая , находим:

(118)

Решение второго уравнения (117) ищем в форме:

(119)

где

Подставляя значение во второе уравнение (117), приходим к уравнению Лежандра:

(120)

откуда

(121)

где функции Лежандра первого рода, а при n – целом числе – полиномы Лежандра.

Первое решение уравнения (115) будет

(122)

Второе решение имеет вид:

(123)

где функция Лежандра второго рода.

При n=0 и n=1 решения получаются непосредственно из второго уравнения (117):

при n=0

при n=1

Таким образом, решения (122) и (123) дополняются двумя значениями функции :

(124)

При эллиптических координатах , которые связаны с координатами r и z соотношениями:

(125)

Полагая

приходим к решению в форме:

(126)

где

Pn(…) - функция Лежандра первого рода;

Qn(…) – функция Лежандра второго рода.

Если переменить роли координат r и z, т.е. расположить полюса эллиптической системы координат не на оси вала Oz, а на оси Or, то связь между r, z и будет

(127)

и решение (126) примет вид:

(128)

где

ГЛАВА 4. ЗАДАЧИ

1. Стержень эллиптического сечения скручивается моментом Mz.

Исследовать напряженное состояние стержня.

Задаемся функцией напряжений в виде:

(a)

где A-неизвестный множитель.

Подставляя функцию Ф в уравнение (91), получаем:

Откуда

и функция напряжений

(б)

Напряжения определяем по формулам (90):

(в)

Эпюры напряжений приведены на рис.20. рис.20

Для определения пользуемся формулой (97).

Согласно формуле (б) площадь эллипса

где при x=y=0

По формуле (97)

Наибольшее напряжение в точке (0, b)

. Стержень кругового сечения

скручивается моментом Mz.

Исследовать напряженное состояние стержня.

Для функции напряжений принимаем выражение

(a)

где A- неизвестный множитель.

Согласно уравнению (91)

Откуда

рис.21

и функция напряжений будет

(б)

Напряжения определяем согласно формулам (90):

(в)

Эпюры напряжений приведены на рис.21.

Согласно формуле (97)

Наибольшее напряжение

(г)

где полярный момент сопротивления.

Все формулы настоящее задачи являются частным случаем формул задачи (85) при a=b, когда эллипс превращается в круг.

3. Задача Вебера (1921 г.)

Круглый стержень диаметром b с полукруглой выточкой радиуса a скручивается моментом Mz (рис.22).

Найти натяжное состояние стержня.

Уравнения контуров сечения в полярных координатах имеют вид:

(a)

Функция напряжений принимает в форме:

рис.22

(б)

где А - неизвестный множитель.

Функция Ф на контуре равна нулю.

В декартовых координатах при

функция напряжений

Согласно уравнению (91)

и функция напряжений будет

(в)

Касательные напряжения в полярных координатах, согласно рис.22, равны:

Дифференцируя функцию Ф, получаем:

(г)

Максимальное значение касательное напряжение принимает в точки контура, находящейся на дне выточки:

(д)

При оно вдвое больше, чем на контуре без выточки (концентрация напряжений у выточек).

4. Задача Сен-Венана.

Прямоугольный стержень со сторонами a и b (a>b) скручивается моментом Mz (рис.23). Исследовать напряженное состояние стержня.

рис.23

Функцию напряжений принимаем в виде:

(а)

где F- неизвестная функция.

Подставив выражение (а) в уравнение (91), найдем, что функция F должна удовлетворять гармоническому уравнению

(б)

и краевым условиям

при

при

Согласно методу Фурье будем искать частное решение уравнения (б) в форме:

(в)

где X(x)-функция от x;

Y(y)-функция от y.

Подставляя функцию F(x,y) в уравнение (б) и разделяя переменные, приходим к уравнениям:

(г)