86422 (Кручение стержней), страница 2

Эти дифференциальные уравнения легко решить с помощью известных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение их будут следующими:

(37)

(38)

Рассмотрим теперь условие на контуре (35). Во-первых, можно установить, что выражение

должно иметь одно и то же значение при y=b и y=-b. Это условие может быть выполнено, если производные являются симметричными функциям от y. Во-вторых, при будем иметь

Это условие удовлетворяется, если Xn(x) являются антисимметричными функциями относительно x. Исходя из этих соображений, находим, что c2=c4=0.Условие (34) будет выполнено, если , или

Отсюда находим

.

Поскольку c1 и c2 – произвольные постоянные, функцию можно записать в следующем виде:

(39)

Где

;

постоянные An следует определить таким образом, чтобы удовлетворялось граничное условие (35).

Дифференцируя функцию по y и подставляя из уравнения (35) получаем

; (40)

здесь для упрощения записи введено обозначение:

.

Коэффициенты An можно определить, пользуясь схемой, применяемой при разложении функции в ряд Фурье. Умножим обе части уравнения (40) на и проинтегрируем все члены по x. Учитывая соотношения

получим

при

= a при m=n

и

Вычислив значения интегралов в этом выражении, найдем

или

следовательно, решение будет иметь вид:

(41)

Постоянную кручения J можно определить по формуле (15):

Принимая во внимание равенство

приходим к формуле для J:

(42)

В таблице 1.1 даны значения K, соответствующие разным величинам отношения b/a .

Таблица 1.1

b/a K K1 K2 1,0

1,2

1,5

2,0

2,5

3,0

4,0

5,0

10,0

2,250

2,656

3,136

3,664

3,984

4,208

4,496

4,656

4,992

5,328

1,350

1,518

1,696

1,860

1,936

1,970

1,994

1,998

2,000

2,000

0,600

0,571

0,541

0,508

0,484

0,468

0,443

0,430

0,401

0,375

Ряд (42) можно записать в виде

Мы замечаем, что сумма меньше суммы так как при . Следовательно, первый член ряда дает значение суммы с точностью до 0,5%, и для практических расчетов можно пользоваться приближенной формулой

(43)

После некоторых выкладок находим следующие формулы для касательных напряжений:

(44)

Можно показать, что если b>a, то максимальные касательные напряжения имеют место посередине длинных сторон прямоугольника, при . Подставляя в уравнение (44) значения x=a и y=0, находим

и

(45)

рис.8

Бесконечный ряд в правой части уравнения, которой мы обозначим через K1/2, сходится очень быстро при b>a , и вычисление величины с достаточной точностью для любого отношения b/a не представляет трудностей. Значение K1, соответствующие различным величинам b/a , включены в табл. 1.1. Подставляя выражения

постоянной кручения J из уравнения (42) в уравнение (45), получаем

(46)

где K2 - второй числовой множитель, значения которого также даны в табл. 1.1.

Горизонтали поверхности, для которых , могут быть легко определены из уравнения для функции . Для стержня квадратного сечения, т.е. при a=b , горизонтали на рис.8; здесь сплошные линии соответствуют положительным значениям w, а пунктирные – отрицательным, по правилу знаков.

§1.3 Мембранная аналогия

Из примера, разобранного в предыдущем параграфе, становится очевидным, что задачи о кручении стержня более сложной формы поперечного сечения может оказаться весьма трудным. Для приближенного решения задач о кручения стержней различных сечений, часто встречающихся в технике, весьма эффективной оказались так называемая мембранная аналогия. Она основана на математической аналогии между задачами о кручении и о деформации упругой натянутой мембраны, подверженной равномерному поперечному давлению.

рис.9

Пусть тонкая однородная мембрана (рис.9) имеет постоянное натяжение и закреплена по контуру, который ограничивается кривой, лежащей в

плоскости xy. Если мембрана подвергается равномерному поперечному давлению p, то точки её срединной поверхности получат перемещения z, зависящие от x и y. Рассмотрим условие равновесия бесконечного малого элемента ABCD мембраны после деформации. Обозначим через F постоянное натяжение, приходящееся на единицу длины мембраны. Усилие F, действующее по стороне AD, наклонено к оси под углом . Так как деформации малы, то можно принять . Прогиб z меняется от точки к точке, поэтому усилие F для стороны BC наклонено под углом

.

Таким же путем находим, что углы наклона растягивающих усилий, приложенных по сторонам AB и CD, равны соответственно и .

Складывая составляющие вдоль оси сил, действующих по четырем сторонам, получаем

отсюда

… для области R. (47)

На контуре прогиб мембраны равен нулю. Поэтому граничное условие имеет вид:

z=0 на контуре S. (48)

Вернемся теперь к задаче о кручении. Основное дифференциальное уравнение будет:

для области R, (6)

а граничное условие имеет вид:

на контуре S. (7)

На первый взгляд эти соотношения и уравнения (47) и (48) не являются аналогичными. Однако им можно придать идентичную форму, если ввести новую функцию с помощью соотношений:

(49)

Из уравнений (49) имеем

Дифференциальное уравнение (6) обращается в тождество, так как

+ =

Таким образом, если функция определяется по формулам (49), то уравнения равновесия будут удовлетворяться тождественно.

Выражая касательные напряжения и через функцию , получаем

(50)

Если функция найдена, то касательные напряжения можно вычислить путем простого дифференцирования. Следовательно, функция представляет собой функцию напряжений; определение функции равнозначно вычислению напряжений. Далее следует использовать уравнение совместимости. Системе напряжений

соответствуют компоненты деформации:

Подстановка этих величин в уравнения совместимости показывают, что первые три уравнения и последнее из них тождественно удовлетворяются. Четвертое и пятое уравнение приводятся к виду:

Интегрируя их, находим

Эту постоянную можно определить, если подставить сюда выражения

Тогда получим

Или

Подставляя значение с в уравнение совместимости, получим дифференциальное уравнение

для области R, (51)

которому должна удовлетворять функция . Отметим, что уравнение (51) можно получить непосредственно, продифференцировав уравнение (49) и затем, исключив из них функцию . Но тогда остается нераскрытым то обстоятельство, что уравнение (51) является уравнением совместимости.

Граничное условие (8), выраженное через , имеет вид:

на контуре S.

В параграфе §1.1 были уже записаны соотношения

(13)

Поэтому условие на контуре можно записать в виде

или на контуре S. (52)

Заметим, что при вычислении напряжений нам необходимы лишь производные от и что значение постоянной с2 в уравнении (52) не влияет на решение задачи. Поэтому можно принять с2=0. Окончательно решение задачи о кручении сводится к определению функции , удовлетворяющей уравнению

для области R (51)

и условию на контуре S. (52)

Сравнивая эти уравнения с уравнениями для мембраны, мы видим, что между ними имеется полная аналогия, если отношение положить равным 2, и если форма контура мембраны совпадает с формой поперечного сечения стержня. Мембранная аналогия эффективно используется для экспериментального определения функций напряжений. Техника проведения такого эксперимента, а также опытов, связанных с другими аналогиями, подробно описана в специальных пособиях.

рис.10

Мембранная аналогия может быть использована не только для численного определения натяжений; она дает также наглядную картину напряженного состояния. На рис.10 изображена такая мембрана и нанесены горизонтали изогнутой поверхности. Рассмотрим некоторую точку В срединной поверхности мембраны. Прогиб вдоль горизонтали остается постоянным, так что

.

Пользуясь аналогией, можем написать

.

Из соотношений

вытекает, что составляющая касательного напряжения, направленная по нормали к горизонтали, равна нулю. Другими словами, касательное напряжение в точке В закручиваемого стержня направлено по касательной по горизонтали, проходящей через эту точку. Величину результирующего касательного напряжения можно найти из следующей формулы:

.

Следовательно, величина касательного напряжения в точке В определяется уклоном мембраны по нормали к горизонтали, и потому касательные напряжения достигают максимума в тех местах, где горизонтали особенно сгущаются. Рассмотрение поверхности мембраны показывает, что наибольший уклон имеет место на контуре. Отсюда можно заключить, что максимальные значения касательных напряжений будут также в определенных точках контура сечения стержня.

Обратимся к выводу выражения для постоянной кручения J через функцию . Из формулы (15) имеем: