Министерство Образования Российской Федерации

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

«Редуцированные полукольца»

Работу выполнил студент

математического факультета

\Подпись\ ____________

Научный руководитель:

К.физ.-мат. наук

.

\Подпись\ ____________

Рецензент:

Д. физ.-мат. наук, профессор

.

\Подпись\ ____________

Допущен к защите в ГАК

Зав. кафедрой ___________________.

«___»________________

Декан факультета _______________.

«___»________________

Киров, 2003.

План.

1. Введение.

2. Основные понятия, леммы и предложения.

3. Доказательство основной теоремы.

1.Введение

Определение 1. Непустое множество S с бинарными операциями + и называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:

1. (S, +) коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;

2. (S, ) полугруппа с нейтральным элементом 1;

3. умножение дистрибутивно относительно сложения:

a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc

для любых a, b, c S;

1. 0a = 0 = a0 для любого a S.

Итак, по принятому нами определению полукольцо отличается от ассоциативного кольца с единицей отсутствием операции вычитания и именно это вызывает основные трудности при работе с полукольцами.

В настоящей работе рассмотрен такой класс полуколец, как редуцированные полукольца.

Определение 2. Полукольцо S называется редуцированным, если для любых a, bS выполняется a = b, как только a + b = ab + ba.

Целью данной работы является доказательство следующей теоремы.

Теорема . Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:

1. S слабо риккартово;

2. a, bS (D(a)D(b)= =);

3. все идеалы Op, PSpec S, первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);

4. в се идеалы OM, M Max S, первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и P M Op=OM для P Spec S и M Max S;

5. каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;

6. a, b S (ab = 0 Ann a + Ann b = S);

Эта теорема обобщает факты, доказанные в классе колец ([1]).

2.Основные понятия, леммы и предложения

Для доказательства нашей теоремы нам потребуется определить некоторые понятия и вывести несколько фактов.

Определение 3. Полукольцо S называется симметрическим, если для любых элементов a, b, b, c S выполняется

abc = abc acb = acb.

Определение 4. Элемент aS называется нильпотентным, если в последовательности a, a , a ,…, a , … встретится нуль.

Предложение 1. Редуцированное полукольцо S является симметрическим полукольцом без нильпотентов.

Доказательство: Пусть ab = ab. Тогда

baba = baba и baba = baba,

откуда

baba + baba = baba + baba

или иначе

(ba) + (ba) = baba + baba.

В силу редуцированности ba = ba, т.е.

ab = ab ba = ba. (1)

Аналогично доказывается ba = ba ab = ab.

Пусть ab = ab. Тогда с помощью (1) ba = ba, откуда bac = bac и acb = acb. Значит, имеем:

ab = ab acb = acb, ba = ba bca = bca. (2)

Пусть сейчас abc = abc. Тогда

abc = abc acbc = acbc acbac = acbac acbacb = acbacb и

acbacb = acbacb (acb) + (acb) = acbacb + acbacb acb = acb.

Таким же образом доказывается другая импликация.

Пусть a + b = ab + ba влечёт a = b. При b = 0 получаем a = 0 a = 0. Если с = 0 для некоторого натурального n 2, то c = 0 для k с условием n 2 . Получаем, что c = 0, и так далее. На некотором шаге получим c = 0, откуда с = 0. Предложение доказано.

Пример. Рассмотрим полукольцо S = {0, a, b, 1}, операции в котором заданы следующим образом:

Пример этого полукольца показывает, что, во-первых, в определении симметричности полукольца импликации нужны в обе стороны, поскольку aa = ab, но aa ba. Во-вторых, S – полукольцо без нильпотентов, более того, без делителей нуля; однако симметрическим, в частности, редуцированным, оно не является. В этом проявляется отличие от колец, поскольку известно, что отсутствие нильпотентов в кольце влечёт кольцевую симметричность.

Определение 5. Собственный двусторонний идеал P полукольца S называется первичным, если AB P влечёт A P или B P для любых идеалов A и B. Первичный идеал коммутативного полукольца называется простым.

Определение 6. Правый идеал P полукольца S называется псевдопростым, если ab = 0 влечёт a P или b P для a, b S.

Предложение 2. Идеал P полукольца S первичен тогда и только тогда, когда для любых элементов a, b S \ P найдётся элемент s S такой, что asb P. Если S коммутативное полукольцо, то идеал P прост тогда и только тогда, когда a, b P влечёт ab P.

Доказательство: Пусть P первичен и элементы a, b P. Тогда главные идеалы (a) и (b) не лежат в P, как и их произведение. Значит, некоторый элемент t aSb не принадлежит P, поскольку t = для некоторых u ,v ,w S, то хотя бы для одного i {1,…,k} a v b P, ибо в противном случае каждое слагаемое u av bw лежит в P, и следовательно, t P.

Обратно. Пусть произведение идеалов A и B лежит в P, но A P. Тогда найдётся a A \ P. Предположим, что B P. Получим, что некоторый элемент b B \ P и по условию asb P для подходящего s S. Но тогда и AB P, и следовательно, P первичный идеал.

Утверждение для коммутативного случая очевидно.

Определение 7. Подмножество T полукольца называется mсистемой, если 0 T, 1 T и для любых a, b T найдётся такой s S, что asb T.

Пример. Рассмотрим множество T = {a ,a, a , … , a }, где n и a 0. Оно является подмножеством полукольца R неотрицательных действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения. 0 T, 1 T и для a ,a T с = 1S : a сa = a T. Таким образом, T является mсистемой.

Легко увидеть, что если P – первичный идеал, то S \ P является m-системой. И хотя дополнение до mсистемы не обязано быть первичным идеалом, следующее утверждение показывает, что между ними существует глубокая связь.

Предложение 3. Пусть T mсистема, а J произвольный идеал полукольца S, не пересекающийся с T. Тогда любой максимальный идеал среди содержащих J и не пересекающихся с T первичен.

Доказательство: Пусть P J, P T = и P максимальный в семействе идеалов, удовлетворяющих этим условиям. Допустим, что aSb P для некоторых a, b P. Идеалы P + SaS и P + SbS строго содержат идеал P, и значит, пересекаются с T. Пусть m (P + SaS) T, r (P + SbS) T и msr T для некоторого sS. Но, с другой стороны,

msr (P + SaS) (P + SbS) P +SaSbS P.

Получили противоречие, что P пересекается с T. Значит, предположение, что aSb P неверно, и P первичный идеал. Предложение доказано.

Определение 8. Собственный идеал M полукольца S называется максимальным идеалом, если M A влечёт M = A или A = S для каждого идеала A.

Предложение 4. Максимальный идеал полукольца первичен.

Доказательство: Рассмотрим нулевой идеал J и не пересекающуюся с ним mсистему T = {1}. Любой максимальный идеал M полукольца содержит J и не пересекается с T, значит, по предложению 3 он будет первичным.

Определение 9. Для любого a S множество

Ann aS = {t S: (s S) ast=0} называется аннулятором элемента a.

Ann aS является двусторонним идеалом полукольца S.

Ann a ={s S: as = 0} правый идеал и Ann aS Ann a.

Определение 10. Для любого идеала P множество Op = {s S: (tP) sSt = 0} = {s S: Ann sS P} называется Oкомпонентой идеала P.

Лемма 1. Op является идеалом для любого первичного идеала P.

Доказательство: Пусть a, b Op. Тогда aSt = 0 и bSu = 0 для некоторых t, u P. В силу первичности P tsu P для подходящего s S. Для любого v S

(a + b)vtsu = (avt)su + b(vts)u = 0.

Далее, (as)vt = a(sv)t = 0, (sa)vt = s(avt) = s0 = 0, поэтому a + b, sa, as Op, и Op идеал.

Лемма 2. Пусть P M первичные идеалы полукольца.

Тогда OM Op P.

Доказательство: Пусть a OM, тогда aSt = 0 для некоторого t M. Поскольку t P, то a Op, и значит, OM Op. Для любого s S 0 = ast P. Поскольку P первичен, то a P или t P, отсюда a P, и следовательно, Op P.

Лемма 3. Для произвольных первичных идеалов P и P симметрического полукольца S верна импликация:

P P не содержит первичных идеалов Op P.

Доказательство: Предположим, что Op P. Полагая A = S \ P и B = S \ P, рассмотрим множество AB всевозможных конечных произведений элементов из A B. Покажем, что AB Op = . В самом деле, если s AB Op, то sb = 0 для некоторого b A, т.е. {0} AB. Поскольку s является произведением элементов из A B, то в силу первичности идеалов P и P и свойства симметрических полуколец uv = 0 для подходящих u B, v A. Откуда u Op P противоречие.

Таким образом, AB является mсистемой, и значит, существует первичный идеал Q, не пересекающийся с AB и содержащий Op. А так как A B AB, то P P Q. Получили противоречие с условием, значит наше предположение неверно, и Op P.

Следствие 1. Для произвольных первичных идеалов P и P в симметрическом полукольце, если Op P , то пересечение P и P содержит хотя бы один первичный идеал.

Определим множество (a, b) = {s S: xS (axs = bxs)} идеал полукольца S для a, b S.Очевидно, (a, 0) = Ann aS.