85802 (Редуцированные полукольца), страница 2

Для произвольного идеала A обозначим пересечение первичных идеалов полукольца S, содержащие идеал A.

Определение 11. Полукольцо S называется строго полупервичным, если для любых элементов a, b S выполняется

= (a, b) .

Определение 12. Пересечение rad S всевозможных первичных идеалов в S называется первичным радикалом полукольца S.

Определение 13. Полукольцо называется полупервичным, если его первичный радикал равен нулю.

Предложение 5. Полукольцо S полупервично тогда и только тогда, когда = Ann aS для всех a S.

Доказательство: При a = 1 rad S = = Ann S = 0, т.е. S полупервично.

Пусть S полупервичное полукольцо и b . Для каждого первичного идеала P, либо P содержит Ann aS, либо Ann aS не содержится в P. В первом случае b P, во втором случае a Op P. Тогда aSb rad S = 0, откуда b Ann aS. Следовательно, Ann aS. Другое включение справедливо всегда.

Следствие 2. Строго полупервичное полукольцо является полупервичным.

Предложение 6. Всякое редуцированное полукольцо S строго полупервично.

Доказательство: Пусть c (a, b) для a, b S. Тогда ac bc и из редуцированности S вытекает, что acac + bcbc acbc + bcac. Элементы cac и cbc отличны друг от друга, и значит, ac bc в силу симметричности редуцированного полукольца. Аналогично ac bc , и следовательно, ac bc . По индукции ac bc . Значит, T = {1, c, c ,…} mсистема, не пересекающаяся с (a, b) , и поэтому найдётся первичный идеал P, содержащий (a, b) , при этом c S \ P. Значит, c , откуда (a, b) . Другое включение справедливо всегда.

Получили = (a, b) по определению 12 S строго полупервично, что и требовалось доказать.

Обозначим через Spec S множество всех первичных идеалов полукольца S. Для любого идеала A полукольца S положим

D(A) = {P Spec S: A P}.

Множество D({0}) = {P Spec S: {0} P} = , а Spec S = D(S).

D(A) D(B) = { P Spec S: A P B P} = { P Spec S : AB P} = D(AB).

Spec S является топологическим пространством с семейством открытых множеств вида D(A).

Лемма 4. Для любого идеала A полупервичного полукольца S

= {P Spec S: Ann A P}.

Доказательство: Обозначим через Y правую часть доказываемого равенства. Если P D(A), т.е. A P, то Ann A P, т.е. P Y. Откуда Y, ибо Y замкнуто.

Обратно, пусть P . Тогда P лежит в некоторой окрестности D(B), где B некоторый идеал в S, не пересекающийся с .

D(A) D(B) = , тогда AB rad S = 0, т.е. B Ann A.

Тогда P не содержит Ann A , иначе P содержал бы B . Следовательно, P Y . Получили Y .

Лемма 5. Пусть P первичный идеал редуцированного полукольца S. Тогда P = Op P минимальный первичный идеал.

Доказательство: Пусть P = Op , P Spec S и P P. Тогда Op OP P . Поэтому P = P, и P минимален.

Обратно, пусть дан минимальный первичный идеал P редуцированного полукольца S. Предположим, что существует a P \ Op. Степени элемента a образуют mсистему (0 {a }, 1{a } и для a ,a { a } с = 1S : a сa = a { a }),не пересекающуюся с Op. Действительно, если a Op , n , то a b = 0 для некоторого b S \ P. Но тогда (ab) = 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое без нильпотентов, и значит ab = 0, то есть a Op ;противоречие. Из предложения 3 видно, что найдётся идеал P Op, не содержащий a, который будет первичным. Из следствия 1 вытекает, что в S существует первичный идеал, лежащий в P P ,что противоречит минимальности P. Значит, P Op. Также Op P (Лемма 2). Тогда P = Op.

Лемма 6. Любой первичный правый идеал симметрического полукольца псевдопрост.

Доказательство: В самом деле, если a, b S \ P, то asb P для подходящего s S, откуда asb 0 и ab 0.

Определение 14. S – слабо риккартово a S b Ann aS

Ann aS + Ann b = S

Пример. Обозначим через N – полукольцо всех неотрицательных целых чисел с обычными операциями сложения и умножения. Возьмём a = 0 N. Тогда Ann aS = N. В результате получим, что Ann aS + Ann b = N. Теперь возьмём a N \ {0}. Тогда Ann aS = {0}, а Ann b = N. В результате получим, что Ann aS + Ann b = {0} + N = N . Таким образом, N – слабо риккартово полукольцо. Аналогично, любое полукольцо без делителей нуля будет являться слабо риккартовым.

3. Доказательство основной теоремы.

Теорема . Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:

1. S слабо риккартово;

2. a, bS (D(a)D(b)= =);

3. все идеалы Op, PSpec S, первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);

4. в се идеалы OM, M Max S, первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и P M Op=OM для P Spec S и M Max S;

5. каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;

6. a, b S (ab = 0 Ann a + Ann b = S);

Доказательство: Пусть S редуцированное полукольцо. Такое S симметрическое (по предложению 1), поэтому S обладает всеми свойствами симметрических полуколец. Доказательство проведём по схеме 1)3)4)5)6)1) и 2)6).

1)3). Исходя из 1), покажем, что каждый идеал Op вполне первичен. Пусть P Spec S и ab Op при a, b S.

Тогда сS \ P: abSc = 0,т.е. absc = 0 для s S.

Возьмём s = 1 abc = 0 bc Ann aS (по определению Ann aS). Но Ann aS Ann a . Тогда bc Ann a. По условию 1) S слабо риккартово, т.е. Ann aS + Ann bc = S для a S, bc Ann aS.

e Ann aS, f Ann bc: e + f = 1 (1S).

Предположим, что a Op Ann aS P (по определению Ann aS) e P.

Тогда f P, т.к. в противном случае 1P. Но P первичный идеал P собственный 1P.

f Ann bc bcf = 0. Т.к. S симметрическое bScf = 0. Но cf P (т.к. c P, f P , а P первичный идеал) b Op .

Таким образом, получили, что все идеалы Op , P Spec S, вполне первичны.

3)4). По условию 3 все идеалы Op , где P Spec S, первичны. Но M Max S – является первичным идеалом (предложение 4), т.е. M Spec S. Но тогда по условию 3) данной теоремы следует, что все идеалы OM , где M Spec S и M Max S, первичны.

Пусть P M. Тогда OM Op (лемма 2).

Если a Op , т.е. ab = 0 при некотором b S \ P и s = 1S, то a OM , ибо b OM P, а ab = 0 OM и OM псевдопрост (доказано выше). Значит и Op OM . Тогда Op = OM .

4)5). Пусть P – первичный идеал из S и P M. По условию 4) данной теоремы OM – первичный идеал и так как P M Op = OM . Также Op P (Лемма 2). Докажем, что OM – минимальный первичный идеал в S, лежащий в P. Пусть в P лежит Q минимальный первичный идеал полукольца S. Но Q M OM OQ Q. По условию 4) данной теоремы OM = OQ. . Так как Q – минимальный первичный идеал OQ = Q (Лемма 5). По свойству транзитивности равенства получаем, что Op = OM =Q.

Докажем теперь единственность такого первичного идеала. Пусть P произвольный минимальный первичный идеал в S, отличный от Q и лежащий в M. Тогда OP = OM (по условию 4)). Также OP = P .

Тогда получили равенство Q = OQ = OM = OP = P . Единственность доказана.

Так как все первичные идеалы полукольца S содержатся в M Max S, то мы получили, что каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал.

5)6). Пусть ab = 0, но Ann a + Ann b S для некоторых a, b S.

Тогда Ann a + Ann b M для подходящего M Max S.

Рассмотрим единственный минимальный первичный идеал P, содержащийся в M. Тогда OM P (Лемма 2). Предположим, что a P \ OM . Степени элемента a образуют mсистему (0 {a }, 1{a } и для a ,a { a } с = 1S: a сa = a { a }),не пересекающуюся с OM. Действительно, если a OM, n , то a b = 0 для некоторого b S \ M. Но тогда (ab) = 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое и значит ab = 0, то есть a OM ; противоречие. Из предложения 3 видно, что найдётся идеал P OM, не содержащий a, который будет первичным.

Пусть q, w S \ P и q, w S \ P . Тогда s S: qsw P qsw P P P P первичный идеал, что противоречит минимальности P. Значит P OM и P = OM. Первичный идеал OM псевдопрост, поэтому aOM или b OM. Откуда по определению нулькомпонент Ann a M Ann b M Ann a + Ann b M противоречие Ann a + Ann b = S.

6)1). Возьмём a, b S: ab = 0 b Ann aS.

Из условия 6) данной теоремы вытекает равенство:

Ann a + Ann b = S. Так как в симметрическом полукольце Ann aS = Ann a, то Ann aS + Ann b = S. Таким образом, полукольцо Sслабо риккартово, что и требовалось доказать.

2)6). Пусть a, b S и ab = 0. D(a) D(b) = {PSpec S: aP bP} = { PSpec S: ab P} (в силу первичности) = D(ab) = D(0) = .

Обратно, D(a) D(b) ={PSpec S: aP bP} ={PSpec S: ab P}=D(ab) = ab = 0, так как D(x) = x = 0.

Таким образом, ab = 0 D(a) D(b) = .

Так как S – симметрическое полукольцо на основании предложения 1, то к нему можно применить предложение 6, то есть S строго полупервично. По следствию 2 S является и полупервичным. Теперь мы можем применить лемму 4. На основании этой леммы

= {SSpec S: Ann aP Ann bP} = .

Т огда Ann a + Ann b M для M Max S Spec S Ann a + Ann b = S.

В другую сторону, пусть Ann a + Ann b = S Ann a M Ann b M для подходящего M Max S Spec S.

Тогда = {S Spec S: Ann a P Ann b P} = . Таким образом, условия 2) и 6) равносильны.