2.3 (Метода по ОДУ теория), страница 4

 51 2

Решение этой системы приводит к уравнениям

 72 0 x  5  0 e 5-3x 72 0  72 0 e 5-2x 0 x 72

 72 2  0  7 2 2

 72 03x  5  0 e 5-3x 72 0  72 0 2e 5-2x 0 3x 72

C 5' 0(x) = ------------- =2xe 52x 0; C 5' 0(x) = ------------- =-xe 53x 0.

 51 0  72 0 e 5-2x  0 e 5-3x 72 0  5  0  52 0  72 0 e 5-2x  0 e 5-3x 72

 72 2  0  7 2 2

 72 02e 5-2x  0 e 5-3x 72 0  72 02e 5-2x  0 e 5-3x 72

Интегрируя эти уравнения, получим

 7( 0 1 7 )

C 41 0(x) = 2 73 0xe 52x 0dx = e 52x 0  72 0x- -- 7 2 0,

 79 0 2 7 0

e 53x  7( 5 1 7 )

C 42 0(x) = - 73 0xe 53x 0dx = 5  0 ---  72 5 -  0- x 72 0.

3  5  79  03 5  7 0

Поэтому

1 1 5  7( 5 1 7 ) 0 2x 7

y 41* 0 = C 41 0(x)e 5-2x 0 + C 42 0(x)e 5-3x 0 = x- -- + -  72 5 -  0- x 72 0 = --- - -- ,

2 3 5  79  03 5  7 0 0 3 18

 7( 0 1 7 ) 0 1 5  7( 5 1 7 ) 0 5x 8

y 42* 0 = 2C 41 0(x)e 5-2x 0 + C 42 0(x)e 5-3x 0 = 2 72 0x- -- 7 2 0 + -  72 5 -  0- x 72 0 = --- - -.

 79 0 2 7 0 0 3 5  79  03 5  7 0 0 3 9

Общее решение системы запишется в виде

2x 7

y 41 0 = 4  0y 41o 0 + y 41* 0 = C 41 0e 5-2x 0 + C 42 0e 5-3x 0 + --- - -- ,

3 18

5x 8

y 42  0= 4  0y 42o  0+ 4  0y 42* 0 = 2C 41 0e 5-2x 0 + C 42 0e 5-3x 0 + --- - -  4.

2.6. Приближённые аналитические методы решения

обыкновенных дифференциальных уравнений

Методы точного интегрирования дифференциальных уравнений позволяют получить решение для относительно ограниченного круга задач. Поэтому в научных и инженерных расчётах широко используются приближённые методы. Их можно разделить на два класса: приближённые аналитические и численные методы. При использовании аналитических методов решения получаются в виде приближённых формул. В численных методах результаты представляются таблицей чисел. Из численных методов широко используются шаговые методы типа Рунге-Кутта, методы конечных разностей, метод конечных элементов и многие другие [14,15]. В настоящем пособии рассмотрены наиболее распространенные приближённые аналитические методы решения краевых задач: метод степенных рядов, Бубнова [16], наименьших квадратов, коллокаций. Метод степенных рядов является приближённым, но позволяет получить результат с любой степенью точности. Этот метод обсужден отдельно в параграфах 2.4.2, 2.4.3, 2.4.4.

Пусть требуется решить краевую задачу для уравнения

y''= f(x,y,y'), x 7е 0[a,b]. (2.121)

 7йцу

с граничными условиями

y(a)= y 4a 0, y(b)= y 4b 0. (2.122)

Будем искать решение задачи в виде

 5n

y(x)= U 4o 0(x)+ 7 S 0 C 4i 0U 4i 0(x), (2.123)

 4i=1

где C 4i 0- постоянные, подлежащие определению; U 4o 0(x), U 41 0(x),...,

U 4n 0(x) - подбираемые функции, которые должны удовлетворять следу-

ющим требованиям:

1. Функции U 4i 0(x), i= 1,2,...,n должны быть линейно независимы на интервале (a,b).

2. Функции U 4i 0(x), i=0,1,2,...,n, должны быть непрерывно дифференцируемы на (a,b) хотя бы до порядка, равного порядку уравнения.

3. Функция y(x), определяемая выражением (2.123), должна удовлетворять граничным условиям (2.122) решаемой задачи. Это условие будет выполнено, если

U 4o 0(a)= 4  0y 4a 0, U 4o 0(b)= 4  0y 4b 0.

U 4i 0(a)= 4  0U 4i 0(b)= 4  00, i= 1,2,...,n. (2.124)

Если граничные условия (2.123) однородны, то решение достаточно искать в виде

 5n

y(x)=  7S 0 C 4i 0U 4i 0(x).

 4i=1

4. Функции U 4i 0(x) (называемые обычно координатными или аппроксимирующими) в совокупности должны качественно правильно отражать физический процесс, описываемый дифференциальным уравнением.

Предположим, что функции U 4i 0(x), i= 0,1,2,...,n подобраны. Осталось найти константы C 4i 0 так, чтобы искомая функция y(x) была близка на [a,b] к точному решению краевой задачи. Для этого перепишем уравнение (2.121) в виде

y''- f(x,y,y')= 0. (2.125)

Если в левую часть уравнения (2.125) подставить точное решение уравнения (2.121), то она тождественно будет равна нулю. Если вместо точного решения подставить приближенное решение (2.123), то в левой части уравнения (2.125) получим некоторую функцию r(x,C 4i 0)  7- 0 0 на (a,b) 4, 0 i= 1,2,...,n. Эта функция называется  не вязкой и может рассматриваться как некоторая мера ошибки.

В приближённых методах решения краевой задачи (2.121), (2.122) константы C 4i 0, (i=1,2,...,n) подбираются таким образом, чтобы невязка оказалась в том или ином смысле малой. Различные приближённые методы отличаются тем, что в каждом из них устанавливается свой критерий малости невязки. Общим для рассматриваемых методов является то, что их применение приводит к системе алгебраических уравнений относительно C 4i 0

 7f 0(C 41 0,C 42 0,...,C 4n 0)= 0, i=1,2,...,n. (2.126)

Если система (2.126) совместна, то найденные из неё константы C 41 0,C 42 0,...,C 4n 0 после подстановки в (2.123) определяют приближённое решение y(x) краевой задачи (2.121), (2.122). Чем больше число координатных функций в решении (2.123), тем точнее может быть приближенное решение задачи. Однако с ростом n существенно возрастает трудоёмкость вычислений.

2.6. 1. Метод Бубнова

В этом методе за условие минимума невязки r(x,C 41 0,C 42 0,...,C 4n 0) принимается ортогональность невязки к координатным функциям U 4i 0(x), i=1,2,..,n на промежутке [a,b].

Как известно, две функции 7 f 41 0(x) и 7 f 42 0(x) называются ортого нальными на промежутке [a,b] 0, если

 7! 0b

 72f 41 0(x) 7f 42 0(x)dx 4  0= 4  00 4.

 71 0a

Составляя условие ортогональности для невязки, получим систему уравнений

 7! 0b

 72 0 r(x,C 41 0,C 42 0,...,C 4n 0) U 4i 0(x)dx=0, i=1,2,...,n. (2.127)

 71 0a

Из этой системы определяются постоянные С 41 0,С 42 0,...,С 4n 0 искомого решения (2.123).

Соотношению (2.127) можно придать простой механический смысл. Например, в задаче об изгибе балки дифференциальное уравнение упругой линии можно записать в виде EIy 5iv 0 + q = 0, где у(x) - прогиб в произвольном сечении балки, q – интенсивность внешней распределенной нагрузки. В левой части этого уравнения стоит сумма проекций всех сил, приложенных к элементу балки, на вертикальную ось. Если выбрать прогиб y(x) в форме (2.123) и составить систему (2.127), то каждое уравнение этой системы можно трактовать как равенство нулю работы всех сил на возможных перемещениях U 4i 0(x), то есть как общее условие равновесия механической системы.

2.6.2. Метод наименьших квадратов

При решении краевой задачи (2.121),(2.122) методом наименьших квадратов искомая функция y(x) отыскивается в том же виде (2.123) с теми же требованиями к подбираемым координатным функциям U 4i 0(x), i=0,1,2,...,n. Но для определения констант С 4i 0, (i=1,2, ...,n) составляется функция

 7! 0b

S(C 41 0,C 42 0,...,C 4n 0) = 7 2 0 r 52 0(x,C 41 0,C 42 0,...,C 4n 0)dx, (2.128)

 71 0a

называемая интегральной квадратичной ошибкой аппроксимации решения.

Условие минимума функции S, как функции многих переменных, приводит к системе

 1д 0S

--- = 0, i=1,2,...,n, (2.129)

 1д 0C 4i

из которой и определяются постоянные C 41 0, C 42 0,...,C 4n 0.

2.6.3. Метод коллокаций

В методе коллокаций неизвестные параметры C 41 0, C 42 0,...,C 4n 0 определяются из условия, чтобы невязка r(x,C 41 0,C 42 0,...,C 4n 0) обращалась в нуль в n внутренних точках a<x 41 0<x 42 0<x 43 0<...<x 4n 0<b промежутка [a,b]. Эти точки, в которых дифференциальное уравнение задачи точно удовлетворяется, называются  точками коллокации 0. В результате получаем систему уравнений вида

r(x 4i 0,C 41 0,C 42 0,...,C 4n 0)= 0, i=1,2,...,n. (2.130)

решая которую находим коэффициенты C 4i 0, i=1,2,...,n. Заметим, что точки коллокации могут быть выбраны, вообще говоря, произвольно, но их выбор существенно влияет на точность решения задачи.

В качестве примера рассмотрим задачу отыскания прогибов шарнирно опертой балки постоянного поперечного сечения, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q (см. рис.3)

y¦

¦ q

¦

+-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-¬

¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦

+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+----

¦ ¦ x

¦ y(x) ¦

¦ l ¦

+-------------------------+

Рис. 3

Задача сводится к решению дифференциального уравнения

EIy 5iv 0 + q = 0 (2.131)

при граничных условиях:

y(0) = y 5'' 0(0) 5  0= 0,

y(l) = y 5'' 0(l) 5  0= 0. (2.132)

Ограничиваясь двучленным приближением, будем искать решение уравнения в виде

 7p 0x 3 7p 0x

y = C 41 0U 41 0 + C 42 0U 42 0 = C 41 77 0sin -- + C 42 77 0sin --- . (2.133)

l l

 ш0

Выбранные функции удовлетворяют всем перечисленным выше требованиям. Они линейно независимы, непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют граничным условиям (2.132).

Подставляя (2.133) в уравнение (2.131), получим невязку

EI 7p 54 0  7( 0  7p 0x 3 7p 0x 7 )

r(x,C 41 0,C 42 0)= ---- 7 2 0 C 41 0sin -- + 81C 42 0sin ---  72 0 + 7  0q. (2.134)

l 54 0  79  0 l l 7 0

 Решение методом Бубнова.

Из условия ортогональности невязки (2.134) к выбранным координатным функциям согласно (2.127) следует

 7! 0l 7{ 0 EI 7p 54 0  7( 0  7p 0x 3 7p 0x 7 ) } 0  7p 0x

 72 0  72 0 ---- 7 2 0 C 41 0sin -- + 81C 42 0sin ---  72 0 + 7  0q 7 27 0sin -- dx = 0,

 71 00 7[ 0 l 54 0  79  0 l l 7 0 ] 0 l

 7! 0l 7{ 0 EI 7p 54 0  7( 0  7p 0x 3 7p 0x 7 ) } 0 3 7p 0x

 72 0  72 0 ---- 7 2 0 C 41 0sin -- + 81C 42 0sin ---  72 0 + 7  0q 7 27 0sin --- dx = 0.

 71 00 7[ 0 l 54 0  79  0 l l 7 0 ] 0 l

После интегрирования получим систему

 7( 0 l 8ql 55

 72 0 - С 41 0 + ---- = 0,

 72 0 2  7p 55 0EI

 7*