2.3 (Метода по ОДУ теория)

2.3. Задачи на собственные значения

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

второго порядка

(2.51)

c однородными граничными условиями

 (2.52)

Здесь предполагается, что 0 7 ,  0x 7 ,  0L,  7l 0 некоторый параметр, имеющий определенный физический смысл.

Задача (2.51), (2.52) является однородной краевой задачей. Особенность ее в том, что для любого значения параметра  она имеет "тривиальное" решение y=0. Но кроме того, имеются еще определенные значения  , при которых задача имеет не равные тождественно нулю ("нетривиальные") решения. Такие значения параметра  называются  собственными значениями , а соответствующие им ненулевые решения y(x) называются  собственными функциями . Сама же задача отыскания собственных значений и собственных функций называется  задачей на собственные значения . Эта задача представляет большой интерес для технических приложений. К ней, например, сводятся многие задачи устойчивости и колебаний упругих систем.

Рассмотрим в качестве примера задачу об устойчивости консольно закрепленного стержня, сжатого продольной силой P. С математической точки зрения эта задача сводится именно к задаче на собственные значения (2.51), (2.52). При этом параметр

(2.53)

где EI-изгибная жесткость стержня длиной L. Тривиальное решение y=0 соответствует прямолинейной форме равновесия сжатого стержня. Для определения собственных значений параметра  следует, во-первых, найти общее решение уравнения (2.51). Заранее известно, что общее решение

(2.54)

Отыскивая частные решения ,  в форме экспоненты: приходим к характеристическому уравнению которое имеет мнимые корни , . Поэтому общее решение уравнения (2.51) принимает вид

(2.55)

Общее решение (2.55) подчиняем граничным условиям (2.52). Из условия следует, что . Удовлетворяя второму граничному условию, получаем уравнение .

Из условия существования нетривиального решения . Следовательно, необходимо принять

(2.56)

Из этого простейшего тригонометрического уравнения следует Поэтому собственные значения параметра  будут равны

  (2.57)

Соответствующие им собственные функции

(2.58)

определены, как видно, с точностью до постоянного множителя.

Формулы (2.57), (2.58) дают решение задачи (2.51), (2.52) на собственные значения. Как видно из (2.57), существует бесконечное количество собственных значений параметра  . Подставим (2.57) в выражение (2.53)

(2.59)

Из формулы (2.59) следует, что существует множество значений сжимающей силы P, при которых возможны различные искривленные формы равновесия продольно сжатого стержня. Наименьшее значение сжимающей силы, соответствующее n=0, называется критическим и равно

. (2.60)

При этом значении силы первоначальная прямолинейная форма равновесия сжатого стержня становится неустойчивой.

2.4. Дифференциальные линейные неоднородные уравнения

с переменными коэффициентами

Если коэффициенты линейного неоднородного уравнения

(2.61)

и его правая часть f(x) представляют собой функции, которые определены и непрерывны на заданном интервале, то рассмотренные выше теоремы о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения, основная теорема для однородного уравнения остаются справедливыми. Остаются в силе также принцип суперпозиции (наложения) решений для неоднородного уравнения и метод вариации произвольных постоянных. Но при этом нельзя искать частные линейно независимые решения однородного уравнения в виде экспоненты.

2.4.1. Уравнение Эйлера

Уравнением Эйлера называется линейное уравнение вида

, (2.62)

где - константы. В частности, при уравнение Эйлера имеет вид

(2.63)

Как видно, уравнение Эйлера является уравнением с переменными коэффициентами специального вида, но оно приводится к уравнению с постоянными коэффициентами заменой независимой переменной x. Для наиболее распространенного случая (2.63), полагая

получим

(2.65)

 Пример . Решить уравнение

  (2.66)

Однородное  линейное уравнение, соответствующее  уравнению (2.66), есть уравнение Эйлера. Применим замену по формулам (2.64), (2.65). Тогда

и после упрощений получим линейное неоднородное уравнение с пос-

тоянными коэффициентами

(2.67)

Его общее решение

где - общее решение соответствующего однородного уравнения:

- частное решение неоднородного уравнения ,

- частное решение неоднородного уравнения .

Эти решения находятся методом подбора (см. выше) и имеют

вид

Поэтому общее решение уравнения (2.67) будет

(2.68)

Теперь, чтобы от решения (2.68) перейти к общему решению исходного уравнения (2.66), возвращаемся к переменной x по формулам замены (2.64). В результате получим общее решение исходного уравнения (2.66) в виде

В общем случае уравнения с переменными коэффициентами (2.61) задачу приходится решать приближёнными методами. Одним из эффективных приближённых методов является метод степенных рядов. Изложение этого метода подробно приведено в учебном пособии [6]. Поэтому здесь мы остановимся на нескольких примерах применения степенных рядов.

2.4.2. Решение  задачи Коши методом степенных рядов

Пусть требуется решить задачу Коши с уравнением

(2.69)

и начальными условиями

(2.70)

Для построения ряда, представляющего решение задачи, можно применить формулу Тейлора, метод неопределённых коэффициентов, метод последовательных приближений. Метод неопределённых коэффициентов для решения дифференциальных уравнений встречается уже в работах И.Ньютона (I.Newton,1642-1727) , Готфрида-Вильгельма Лейбница (G.-W.Leibniz, 1646-1716), Якова Бернулли (J.Bernoul-li,1654-1705),Иоганна Бернулли (I.Bernoulli, 1667-1748) на заре развития дифференциального и интегрального исчисления. В соответствии с этим методом представим решение задачи (2.69), (2.70) степенным рядом

2.71)

Подставляем искомое решение (2.71) в уравнение (2.69), учитывая соотношения

После подстановки получаем тождество:

В левой части этого тождества имеем степенной ряд. Ряд будет тождественно равен нулю, если его коэффициенты будут равны нулю. Приравнивая коэффициенты нулю, получаем систему уравнений:

………………………….

Из этой системы следуют рекуррентные соотношения:

………..

(2.72)

позволяющие последующие коэффициенты ряда выразить через предыдущие. Подчиняя искомое решение (2.71) начальным условиям, получаем . Остальные коэффициенты ряда определяются по рекуррентным формулам (2.72):

и т. д.

После подстановки коэффициентов в (2.71) получаем окончательное выражение

(2.73)

Применяя признак Даламбера, легко установить, что ряд в выражении (2.73) сходится на всей числовой оси. Следовательно формула (2.73) представляет решение исходной задачи при

2.4.3. Построение общего решения линейного неоднородного

уравнения методом степенных рядов

Пусть требуется найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

(2.74)

Общее решение уравнения имеет вид

(2.75)

где - частное решение неоднородного уравнения, и - постоянные интегрирования, и - частные линейно независимые решения однородного уравнения

. (2.76)

Чтобы построить общее решение уравнения (2.74), будем решать задачу Коши с этим уравнением и начальными условиями:

. (2.77)

Решение задачи (2.74),(2.77) представим рядом

(2.78)

В соответствии с начальными условиями (2.77)

. (2.79)

Для определения последующих коэффициентов ряда подставляем его в уравнение (2.74)

В левой части полученного равенства имеем ряд по степеням x. В правой части - частный случай ряда, у которого все коэффициенты равны нулю, кроме свободного члена, равного 2. Равенство будет тождественно выполняться, если коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства будут соответственно равны между собой. Приравниваем коэффициенты

………………………….

Отсюда получаем рекуррентные соотношения:

…………….

(2.80)

По этим формулам с учётом (2.79) получаем:

и так далее. Подставляя найденные коэффициенты в искомое решение (2.78) и группируя слагаемые, получаем общее решение в форме (2.75)