2.3 (521114), страница 3
Текст из файла (страница 3)
51 1 1 2
Из первого уравнения системы (2.95) находим
4,
y = y + 4y - x 5 0 (2.98)
52 1 1
и подставляем в (2.97). В результате получим
y 5'' 0 = -4y 5' 0 - 2y - y 5' 0 - 4y + x + 3x + 5 01 = -5y 5' 0 -6y + 4 04x 4 0+ 4 01 5 или
51 1 1 1 1 1 1
y 5'' 0 + 5y 5' 0 + 6y = 4 04x 4 0+ 4 01 - неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно одной неизвестной функции y 41 0. Его общее решение имеет вид
2 7
y = C 41 0 e 5-2x 0 + C 42 0 e 5-3x 0 + -- x - -- . (2.99)
51 0 3 18
Далее из (2.98) с учетом (2.99) находим y 42 0:
2 7( 0 2x 7 7)
y = 5 0-2C 41 0 e 5-2x 0- 5 03C 42 0 e 5-3x 0 + - + 4 72 0C 41 0e 5-2x 0 + C 42 0e 5-3x 0 + -- - -- 72 0-x =
52 0 5 0 3 79 0 3 18 70
5x 8
= 2C 41 0 e 5-2x 0 + C 42 0 e 5-3x 0 + -- - - .
3 9
В результате общее решение системы запишется в виде
2 7
y 41 0 = C 41 0 e 5-2x 0 + C 42 0 e 5-3x 0 + -- x - -- ,
3 18
5x 8
y 42 0 = 2C 41 0 e 5-2x 0 + C 42 0 e 5-3x 0 + -- - - .
3
2.5.2. Метод Эйлера
Рассмотрим нормальную систему линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
7( 0 dy 41
72 0 --- = a 411 0y 41 0 + 4 0a 412 0y 42 0+ 4 ... 0a 41n 0y 4n 0,
72 0 dx
72
72 0 dy 42
7* 0 --- = a 421 0y 41 0 + 4 0a 422 0y 42 0+ 4 ... 0a 42n 0y 4n 0,
72 0 dx (2.100)
72 0 ................................
72 0 dy 4n
72 0 --- = a 4n1 0y 41 0 + 4 0a 4n2 0y 42 0+ 4 ... 0a 4nn 0y 4n 0.
79 0 dx
Будем искать решение системы в виде
4kx 0 4kx 0 4kx
y 41 0= 7 a 41 77 0e , y 42 0= 7 a 42 77 0e ,..., y 4n 0= 7 a 4n 77 0e , (2.101)
где 7a 41 0, 7a 42 0,..., 7a 4n 0, k - постоянные. Подставляя (2.101) в (2.100), сокращая на e 5kx 0 , после элементарных преобразований получим
5 0L+
7( 0 (a 411 0-k) 7a 41 7 0+ a 412 7 a 42 0 + 4... 0+ a 41n 0 7a 4n 0 = 0 4,
72 0 a 421 7a 41 7 0+ (a 422 0-k) 7 a 42 0 + 4... 0+ a 42n 0 7a 4n 0 = 0 4,
7* 0 .....................................
72 0 (2.102)
79 0 a 4n1 7a 41 7 0+ a 4n2 7 a 42 0 + 4... 0+ (a 4nn 0-k) 7a 4n 0 = 0 4.
Как известно, чтобы система линейных однородных алгебраических уравнений (2.102) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю
72 0 a 411 0- k 7 0 a 412 7 0 ... a 41n 7 2
72 0 a 421 0 a 422 0-k 4... 0 a 42n 7 2
72 0 ....................... 72 0= 0. (2.103)
72 0 a 4n1 0 a 4n2 7 0 4... 0 a 4nn 0- k 7 2
Раскрывая этот определитель, получим алгебраическое уравнение n-ой степени относительно k. Уравнение (2.103) называется характеристическим или вековым уравнением , а его корни – корнями характеристического уравнения или собственными значениями . Если все корни 
(i=1,2,...,n) этого уравнения действительные и различные числа (ограничимся только этим случаем), то последовательно подставляя их в систему (2.102), найдем соответствующие этим корням нетривиальные решения 
(i = 1,2, ..., n - номер корня) системы и затем n частных решений системы дифференциальных уравнений (2.101) в виде
(2.104)
Здесь первый индекс указывает номер неизвестной функции, а второй - номер корня. Полученные таким образом n частных решений линейной однородной системы (2.100)
образуют фундаментальную систему решений этой системы.
Следовательно, общее решение однородной системы дифференци-
альных уравнений (2.100) запишется в виде
или
……………………………………………….
где 
- произвольные постоянные.
Пример . Решить методом Эйлера систему
(2.105)
Принимаем
. (2.106)
Подставляя (2.106) в (2.105), получим систему
(2.107).
Характеристическое уравнение системы будет
Следовательно,
или 
. Корни уравнения 
, 
- действительны и различны. Подставляя в (2.107), получим
(2.108).
Система (2.108) совместная, но неопределенная. Полагая 
получим 
. Тогда
. (2.109)
Подставляем теперь в систему (2.108) 
.
(2.110)
Решение этой системы принимаем в виде 
. При этом
(2.111)
Общее решение однородной системы (2.105) будет иметь вид
.
( 2.112)
2.5.3. Метод вариации произвольных постоянных
Этот метод применим к решению систем неоднородных линейных уравнений. Ограничимся для простоты нормальной системой двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами
(2.113)
Пусть общее решение однородной системы уравнений имеет вид
(2.114)
где 
, 
- произвольные постоянные, а 
, 
, 
, 
- частные решения однородной системы, соответствующие различным корням характеристического уравнения.
В соответствии с методом вариации частное решение неоднородной системы отыскивается в форме, аналогичной по структуре общему решению однородной системы, но произвольные постоянные в (2.114) заменяются неизвестными функциями, то есть принимается
.
(2.215)
Подстановка (2.115) в (2.113) приводит к следующей системе двух дифференциальных уравнений первого порядка относительно неизвестных функций 
, 
:
7( 0 C 41 0'(x)y 411 0 + C 42 0'(x)y 412 0 = f 41 0(x),
7* 0 (2.116)
79 0 C 41 5' 0(x)y 421 0 + C 42 5' 0(x)y 422 0 = 4 0f 42 0(x).
Разрешая систему (2.116), получим два дифференциальных уравнения первого порядка
f 41 0y 422 0- 4 0f 42 0y 412 0 f 42 0y 411 0- 4 0f 41 0y 421
C 41 5' 0(x) = 4 ------------- 0-- ; C 42 5' 0(x) = 4 ------------- 0--. (2.117)
y 411 0y 422 0 - y 412 0y 421 0 y 411 0y 422 0 - y 412 0y 421
Интегрируя эти уравнения, находим функции C 41 0(x), C 42 0(x) и подставляем их в (2.115). Общее решение системы (2.113) запишется в виде
y 41 0 = 4 0y 41o 0 + y 41*,
y 42 0= 4 0y 42o 0+ 4 0y 42*.
Пример. Решить систему
7( 0 y 5' 0 = -4y 41 0+ y 42 0 + x,
7* 0 51 0 (2.118)
79 0 y 5' 0 = -2y 41 0 - y 42 0 + 3x. 2
Общее решение однородной системы, как было показано выше (2.112), имеет вид
y 41o 0 = C 41 0y 411 0 + C 42 0y 412 0 = C 41 0e 5-2x 0 + C 42 0e 5-3x 0,
(2.119)
y 42o 0 = C 41 0y 421 0 + C 42 0y 422 0 = 2C 41 0e 5-2x 0 + C 42 0e 5-3x 0.
Принимаем частное решение системы (2.118) в виде
y 41* 0 = C 41 0(x)e 5-2x 0 + C 42 0(x)e 5-3x 0,
(2.120)
y 42* 0 = 2C 41 0(x)e 5-2x 0 + C 42 0(x)e 5-3x 0.
Подставляя (2.120) в систему (2.118), получим после элементарных преобразований
7( 0 C 5' 0(x)e 5-2x 0 + C 5' 0(x)e 5-3x 0= x ,
7* 5 1 2
79 0 2C 5' 0(x)e 5-2x 0 + C 5' 0(x)e 5-3x 0 = 3x.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
