3 (521116)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

3.ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Операционное исчисление представляет собой своеобразный и эффективный метод решения различных математических задач, прежде всего, дифференциальных уравнений. В основе операционного исчисления лежит понятие преобразования Лапласа.

3.1. Преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа . называется преобразование, которое ставит в соответствие функции f(t) действительной переменной t функцию F(p) комплексной переменной p по формуле

(3.1)

Несобственный интеграл в правой части формулы (3 1), зависящий от комплексного параметра p, называется интегралом Лапласа.

Интеграл сходится и действительно определяет собой некоторую функцию F(p), если подынтегральная функция f(t) удовлетворяет следующим условиям:

1) f(t) кусочно - непрерывная функция;

2) f(t) = 0 при t < 0;

3) f(t) по абсолютной величине возрастает не быстрее заранее выбранной показательной функции, то есть можно найти такие постоянные M и , что

.

Число называется показателем роста функции f(t).

Функция f(t) действительного аргумента t, удовлетворяющая перечисленным выше трем условиям, называется оригиналом , а функция F(p) комплексного аргумента p, определяемая согласно ( 3.1), называется изображением по Лапласу функции f(t) или просто изображением .

Символически соответствие между оригиналом и изображением записывается обычно так:

или .

Совокупность всех оригиналов f(t) называется пространством оригиналов, а совокупность всех изображений F(p) – пространством изображений.

Изображения простейших функций

1. Пусть оригинал имеет вид

Эта функция широко применяется в приложениях и называется единичной функцией или функцией Хевисайда.

Изображение этой функции найдем по формуле (3.1):

.

Следовательно,

. (3.2)

1. Изображение показательной функции. Пусть , тогда

Следовательно,

. (3.3)

Нахождение изображений непосредственно по формуле (3.1) обычно затруднительно. Во многих случаях изображения по Лапласу могут быть найдены значительно проще, если воспользоваться свойствами преобразования Лапласа.

Свойства преобразования Лапласа

Для практического применения преобразования Лапласа необходимо знать не только изображения отдельных функций, но и правила отображения выполняемых над ними операций. Эти правила формулируются в виде многочисленных теорем, объединяемых общим названием "свойства преобразования Лапласа". Рассмотрим некоторые основные из них.

1. Теорема линейности . Если , то для любых постоянных и линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений, то есть

. (3.4)

Пример. Найти изображения функций cos t и sin t.

Согласно формулам Эйлера

.

Учитывая формулу (3.3) и применяя теорему линейности, получим

(3.5)

Аналогично

(3.6)

2. Теорема подобия. Если f(t) = F(p) , то

(3.7)

то есть умножение аргумента оригинала на некоторое число a приводит к делению аргумента изображения и самого изображения на то же число ( к подобному изменению изображения ).

Пример. Найти изображения функций и . Учитывая изображения (3.5) и (3.6) и применяя теорему подобия, получим

. (3.8)

Аналогично

. (3.9)

3. Теорема смещения изображения. Если f(t) = F(p), то для любого числа a (действительного или комплексного)

(3.10)

то есть умножение оригинала на приводит к смещению аргумента изображения на a.

Пример. Найти изображения функций и .

Учитывая формулы (3.8) и (3.9) и применяя теорему смещения изображения, находим

. (3.11)

Аналогично

. (3.12)

4.Теорема запаздывания. Если f(t) = F(p), то для любого положительного

. (3.13)

то есть "включение" оригинала с запаздыванием на время равносильно

умножению изображения на .

Пример. Найти изображение функции f(at - b), если f(t) =F(p). Применяя теоремы подобия и запаздывания, получим

В частности,

(3.14)

. (3.15)

5. Теорема дифференцирования оригинала. Если f(t) = F(p), то

, (3.16)

то есть дифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения на p и вычитанию начального значения функции . В (2.16) - правосторонний предел функции f(t).

(3.17)

…………………………………….

(3.18)

В частности, если все начальные значения функции и ее производных равны нулю, то

(3.19)

Для практических приложений эта теорема является самой важной. Из нее следует, что дифференцирование в пространстве оригиналов заменяется существенно более простой операцией - умножением изображения на степень аргумента. Эта теорема лежит в основе операционного метода решения дифференциальных уравнений.

6.Теорема дифференцирования изображения. Если f(t) = F(p), то

……………………..

.

Учитывая, что и применяя последовательно теорему дифференцирования изображения, найдем изображения степенных функций:

(3.20)

7. Теорема интегрирования оригинала . Если f(t) = F(p), то

. (3.21)

Соответствие между некоторыми основными оригиналами и изображениями указано в таблице 4.

Таблица 4

Таблица соответствия

между основными оригиналами и изображениями

Примеры нахождения изображений сложных функций

1. .

Так как

, то применяя теорему дифференцирования,

найдем

Следовательно,

.

2.

Применять теорему дифференцирования пять раз, конечно, неудобно. Представим в виде

Так как

, то по теореме смещения изображения

Теперь по теореме линейности находим

3.

Представим в виде Для функции изображение известно:

По теореме дифференцирования изображения - . Следовательно,

4.

Так как

то

5.

Так как то

Учитывая, что , по теоремам подобия и линейности получим

Замечания.

1. Грубой ошибкой будет представление изображения заданных функций в виде произведения изображений, соответствующих каждому из сомножителей, так как умножению оригиналов в пространстве оригиналов соответствует другая операция в пространстве изображений [4,5].

2. Решение приведенных задач возможно различными способами. В пособии указан лишь один из возможных способов решения.

3.2. Обратное преобразование Лапласа

При практическом применении преобразования Лапласа всегда приходится решать обратную задачу - построение оригинала по его изображению. Общий метод построения оригинала f(t) по заданному изображению F(p) базируется на теореме обращения ( формуле Меллина ):

(3.22)

где интегрирование проводится по любой бесконечной прямой 7 0Re p = 7g 0, лежащей в полуплоскости абсолютной сходимости интеграла Лапласа [7,8]. Непосредственно формулой (3.22) для нахождения оригинала по известному изображению пользуютя редко. При нахождении оригинала по его изображению обычно применяют таблицы соответствия между оригиналами и их изображениями [5] и свойства преобразования Лапласа.

В самом распространенном случае, когда изображение F(p) является дробно - рациональной функцией вида

,

где A(p) и B(p) - многочлены, причем степень многочлена B(p) больше степени многочлена A(p), оригинал может быть найден разложением дроби A(p) /B(p) на простейшие.

Пример. Дано изображение

Найти оригинал f(t) = F(p).

Разложим заданную дробь на простейшие:

Приводя к общему знаменателю, получим

.

При p = 0 1 = -8A,

При p = 2 5 = 16B,

следовательно, A = -1/8, B = 5/16.

Приравнивая далее коэффициенты, например, при и в левой и правой частях равенства, получим

Поэтому

Применяя теорему линейности, окончательно найдем

Пример. Найти оригинал по его изображению

Разложение данной дроби на простейшие имеет вид

После приведения к общему знаменателю получим

При p = 0 1 = -3A, откуда A = - 1/3;

при p = 3 1 = 9C, откуда C = 1/9.

Приравнивая далее коэффициенты при в правой и левой частях равенства, получим уравнение 0 = B + C, из которого следует B = - 1/9.

Итак,

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги