2.3 (Метода по ОДУ теория), страница 2

(2.81)

Ряды в (2.81), умноженные на константы и , сходятся на всей числовой оси и определяют функции и , линейно независимые в окрестности точки x=0. Ряд

также сходится на всей числовой оси и удовлетворяет уравнению (2.74). Поэтому функция является частным решением исходного линейного неоднородного уравнения. Выражение (2.81) представляет общее решение уравнения (2.74). Следует отметить,что частное решение данного уравнения можно было найти проще путём подбора, принимая Подставляя функцию в уравнение (2.74), получим . Следовательно, . Тогда функции и следует находить  как частные решения уравнения (2.76), используя рекуррентные соотношения (2.80) и формулы (2.79).

2.4.4. Применение формулы Тейлора

Пусть требуется учесть пять членов разложения решения зада-

чи Коши в степенной ряд

(2.82)

(2.83)

Ряд, представляющий решение задачи, можно построить по формуле Б.Тейлора (B.Taylor,1685-1731)

y'(0) y''(0) y 5(n) 0(0)

y= y(0) + ----- x + ------ x 52 0 +...+ 5  0------- x 5n 0 +... (2.84)

1! 2! n!

В рассматриваемой задаче первые два коэффициента ряда (2.84) определяются начальными условиями (2.83). Третий коэффициент y''(0)=0 получается непосредственно из дифференциального уравнения (2.82) при x=0. Для нахождения последующих коэффициентов запишем уравнение в виде

y''= -xy + x. (2.85)

Дифференцируем последовательно равенство (2.85).

y'''=- xy'- y+1, y 5(4) 0=-xy''-2y', y 5(5) 0=-xy'''-3y'',

y 5(6) 0=-xy 5(4) 0-4y''', y 5(7) 0=-xy 5(5) 0-5y 5(4) 0.

Полагая в этих равенствах x=0, получаем:

y'''(0)= 1, y 5(4) 0(0)=-2, y 5(5) 0(0)=0, y 5(6) 0(0)=-4, y 5(7) 0(0)= 10

После подстановки найденных коэффициентов в правую часть равенства (2.84) получаем приближённое решение

x 53 0 x 54 0 x 56 0 x 57

y=x + -- -2 -- -4 -- +10 -- +... (2.86)

3! 4! 5  06! 5  07!

Полученное выражение является решением при условии сходимости ряда и даёт достаточно точное значение функции y в малой окрестности точки x=0.

2.4.5. Особенности суммирования рядов на ЭВМ,

шаговый подход в методах степенных рядов

Если решение дифференциального уравнения получено в виде степенного ряда, то вычисление его суммы при заданном значении аргумента производится, как правило, с помощью ЭВМ. Из-за ограниченности разрядной сетки машины суммирование знакочередующегося ряда может привести к существенным погрешностям [9], [10] при неправильном использовании степенных рядов. Рассмотрим пример. Пусть методом степенных рядов решается задача Коши:

y' + 2xy = 0,

y(0) = 1. (2.87)

Точное решение задачи . Решение этой же задачи методом степенных рядов имеет вид

(2.88)

Вычисление суммы ряда (2.88) на ЭВМ с семиразрядной сеткой даёт результат y = 0.0004717178 при x=3,1. Точное решение с семью верными значащими цифрами y = 0.00006705482. Как видим, решение, полученное на ЭВМ с помощью ряда, совершенно ошибочно. В этом примере имеет место эффект суммирования близких по модулю и противоположных по знаку чисел. Максимальный по модулю член ряда имеет значение . Сравнение с точным решением показывает, что при суммировании взаимно уничтожаются все семь найденных верных цифр в выражениях наибольших по модулю членов ряда. Поэтому окончательный результат получается ошибочным. В данном примере для x=3,1 величины разрядной сетки машины не хватает для получения достоверного результата. Этот недостаток машины легко преодолеть, заставляя её суммировать ряд с меньшим значением аргумента. Для этого применим шаговый подход [10] в решении задачи (2.87). Разобьём интервал [0;3,1] на несколько участков. Длину каждого участка можно выбирать произвольно. Разделим интервал по схеме рис.2. Длина первого участка равна единице, второго - 0,8, третьего - 0,7 и последнего четвёртого - 0,6. Длины участков можно было бы выбрать одинаковыми. На каждом участке решение исходного дифференциального уравнения будем разлагать в ряд по степеням , 0 где - абсцисса начала участка номера "к".

Рис.2. Схема разбиения интервала интегрирования

(2.89)

Коэффициент определяется из начального условия на участке.

(2.90)

где - длина участка номера k-1.

Для вывода рекуррентного соотношения, определяющего коэффициенты ряда (2.89), перепишем уравнение задачи (2.87) в виде

(2.91)

Коэффициент 2x исходного уравнения представлен в (2.91) полиномом по степеням . Подставляя теперь (2.89) в уравнение (2.91), приводим подобные члены и приравниваем нулю коэффициенты при степенях В результате получаем рекуррентное соотношение

. (2.92)

Умножая обе части этого равенства на получаем более удобную для расчётов формулу

(2.93)

где - член ряда (2.89). Очевидно,

Результаты решения задачи (2.87) шаговым методом

степенных рядов

Таблица 3

Результаты расчётов на той же семиразрядной машине, выполненные по формулам (2.89), (2.90),(2.93), представлены в таблице 3. В первом столбце указаны номера участков, в третьем столбце записаны найденные значения функций в концевых точках соответствующих участков. В четвёртом столбце представлены значения искомой функции с семью верными значащими цифрами. Смысл результатов, представленных в таблице 3, заключается в следующем. Вместо вычисления суммы ряда (2.89), представляющего решение уравнения задачи (2.87), при большом значении аргумента x = 3,1, четыре раза суммировался ряд (2.89) при меньших значениях аргумента: x = 1; x = 0,8; x = 0,7; x = 0,6. При этом получены значения искомой функции в узловых точках на границах участков. Расхождение с точным решением наблюдается только в последнем седьмом разряде числа. Эти ошибки малы и обусловлены ошибками округления при выполнении арифметических операций. Таким образом, шаговый подход в методе степенных рядов позволяет получить результаты с высокой точностью при решении задачи Коши на машине с ограниченной разрядной сеткой.

2.5. Системы дифференциальных уравнений

Рассмотрим систему n дифференциальных уравнений относительно n неизвестных функций .

Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от искомых функций

(2.94)

называется системой, записанной в нормальной форме Коши или  нормальной системой .

Решением нормальной системы (2.94) на интервале (a, b) изменения аргумента x называется всякая совокупность n функций , дифференцируемых на интервале (a, b), и обращающих каждое из уравнений системы (2.94) в тождество.

Задача Коши для системы (2.94) формулируется так: требуется найти решение системы, удовлетворяющее при одном и том же начальном значении независимой переменной n начальным условиям

Рассмотрим различные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений.

2.5.1. Метод исключения

Этот метод является достаточно общим, пригодным для систем дифференциальных уравнений различного типа и основан на сведении нормальной системы n дифференциальных уравнений относительно n неизвестных функций к одному дифференциальному уравнению n-го порядка относительно одной неизвестной функции. Применение этого метода покажем на примере.

 Пример. Решить систему

 7( 0 y 5' 0 = -4y 4  0+ y + x,

 72 0  51  0  51 0  52 0 (2.95)

 7*

 72 0 y 5' 0 = -2y - y + 3x.

 79 5 2 7  5 1 2

Последовательность решения такова: дифференцируем первое уравнение по x:

y 5'' 0 = -4y 5' 0+ y 5' 0 + 1. (2.96)

 51 1 2

Подставляем y 5' 0 из второго уравнения (2.95) в (2.96)

 52

y 5'' 0 = -4y 5' 0 - 2y - y + 3x + 1. (2.97)