ВМ2 ЛЕКЦИИ (ЧАСТЬ 1) (Лекции (ворд)), страница 3

Максимальное число линейно-независимых строк равно максимальному числу линейно-независимых столбцов и равно .

Доказательство:

Пусть . Докажем для столбцов существование линейно-независимых базисных столбцов. Необходимо доказать, что любая система из столбцов является линейно-зависимой. Пусть для определенности базисными будут являться первые столбцов. Выделим произвольную систему из столбцов: . Составим из этих столбцов матрицу:

Очевидно, что миноры матрицы являются одновременно минорами исходной матрицы. все миноры матрицы -го порядка равны нулю среди столбцов матрицы есть хотя бы один небазисный система является линейно-зависимой.

Определение: Элементарными преобразованиями строк называется:

1). Сложение строк

2). Умножение строки на число

3). Перестановка строк.

Теорема (без доказательства). Элементарные преобразования строк и столбцов, а так же вычеркивание нулевой строки и нулевого столбца не меняют ранга матрицы .

Два способа вычисления ранга матрицы:

1). Метод окаймляющих миноров.

Пусть существует минор -того порядка, не равный нулю, а все миноры -го порядка окаймляющие (содержащие в себе данный ненулевой минор 2-го порядка) равны нулю. Тогда и все остальные миноры порядка равны нулю (смотри доказательство теоремы о базисном миноре и его свойствах). Тогда , то есть достаточно рассмотреть окаймляющие миноры и доказать, что они равны.

2). Метод элементарных преобразований.

Идея:

Пусть , все строки, начиная с являются нулевыми.

Утверждение (без доказательства).

Любую матрицу можно привести к трапеционной форме с помощью элементарных преобразований.

Доказательство основано на применении метода Гаусса.

§ Решение СЛАУ общего вида.

п.1. Теорема Кронекера-Капелли о совместности СЛАУ

(1)

- матрица коэффициентов.

- столбец неизвестных. - столбец правых частей.

(1’)

. - расширенная матрица системы (1).

Теорема (Кронекера-Капелли).

Система (1) совместна.

Доказательство:

Система (1) совместна хотя бы одно решение

, где - , -

То есть столбец может быть выражен линейным образом через столбцы матрицы , поэтому добавление к матрице нового столбца не может изменить .

п.2. Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений.

(2)

Очевидно, что всегда существует ненулевое (тривиальное) решение .

Когда существует ненулевое решение, тогда система называется нетривиально-совместной.

Теорема:

Система (2) нетривиально совместна , - число неизвестных

Доказательство:

Система (2) нетривиально совместна

, где - столбцы матрицы .

система столбцов является линейно-зависимой

- число столбцов.

Следствия:

1). число уравнений меньше числа неизвестных. Тогда система (2) нетривиально-совместна.

Доказательство:

2). число уравнений совпадает с числом неизвестных. Тогда система (2) нетривиально совместна тогда и только тогда, когда

Определение: Пусть , . Фундаментальной системой решений для системы (2) называется система из линейно-независимых между собой решений.

Теорема. Пусть - решения (2’). Тогда - решения (2’), - тоже решения (2’), где - любое действительное число.

Доказательство:

1). Пусть - решения системы (1’) , .

Вычислим .

2). Пусть - решения системы (1’) .

Определение. Множество всех решений однородной системы (1) называется ядром матрицы

и обозначается .

Определение. Пусть , ( - число неизвестных). Система из линейно-независимых решений системы (1) называется фундаментальной системой решений однородной системы (1) (ФСР).

Теорема. Пусть . Тогда существует ФСР .

Доказательство:

.

Не уменьшая общности решим, что базисный минор порядка расположен в верхнем левом углу матрицы . Если это не так, переставим уравнения или перенумеруем неизвестные.

Фиксируем произвольный определитель порядка , не равный нулю.

Например:

Берем

строк

строк

строк

строк

- базисные переменные.

- свободные переменные.

Отбросим небазисные уравнения они являются следствиями базисных. (см теорему о базисном миноре).

Ищем первые компонентов столбца
Как решение системы, где вместо свободных берутся , решим систему

, где вместо свободных переменных подставляются числа . Матрица системы 

не вырождена так как ее определитель совпадает с базисным минором . Можно например использовать правило Крамера.
Построена система из решений системы (1) .

Ранг вспомогательной матрицы равен все столбцы являются базисными и составляют линейно-независимую систему являются ФСР

Теорема (об общем решении однородной системы уравнений СЛАУ).

Пусть . Тогда общее решение однородной СЛАУ (1) :

где - ФСР, - постоянные произвольные, пробегающие действительную ось, независимо друг от друга.

Доказательство:

Необходимо доказать:

1). Правая часть действительно является решением системы (1).

2). Любое решение системы (1) может быть записано в виде

при некоторых значениях .

Справедливость 1) утверждения следует из теоремы. - решения (1). - тоже решения (1).

Докажем справедливость 2-го утверждения.

Пусть - произвольное решение (1).

, причем - столбец высоты .

, где , где

Составим систему , столбцов высоты .

Теорема. Система из столбцов, число которых превышает высоту, является линейно-зависимой.

- линейно зависимая система.

Только может быть линейным образом выражен через другие столбцы.

Докажем, что это верно и для . Имеем:

(где - нулевой столбец высоты )

Обозначим .

Необходимо доказать, что высоты

Необходимо доказать, что тоже все 0

Первые компонентов столбца являются решениями системы , где в правой части

. Такая система имеет только единственное нулевое решение (как однородная система с квадратной невырожденной матрицей).

Замечание

Алгоритм построения ФСР:

1. строк

Фиксируем свободные базисные переменные, базисные уравнения.

2. Переписываем исходную систему в виде

,…., ,….,

строк строк

Для того, чтобы достроить решаем и так далее.

построены

п.3. Решение неоднородных систем уравнений.

(1)

(1’)

Соответствующая однородная система:

(2)

(2’)

Лемма. Пусть - решения (1’). Тогда - решение (2’).

Доказательство:

,

Теорема (об общем решении неоднородной системы (1).

(3)

- общее решение неоднородной системы

- частное решение неоднородной системы

- общее решение соответствующей однородной системы (2’).

- ФСР для однородной системы (2’)

- произвольные постоянные

Доказательство:

Необходимо доказать:

1). Правая часть (3) действительно является решением системы (1).

2). Любое решение системы (1) можно записать в виде при неот. значениях

1).

Докажем 2). Пусть - произвольное решение (1’). Тогда в силу леммы - решение системы

=

+

Замечание. Пусть . Тогда если , то применимы формулы Крамера (так как матрица системы является невырожденной квадратной)

Пусть в системе уравнений могут быть отброшены (они не являются базисными). Тогда получим случай решение существует и только одно.

п.4. Метод Гаусса решения СЛАУ (метод последовательного исключения неизвестных).

Пусть . Если это так, то переставим уравнения или перенумеруем неизвестные.

1 этап.
Исключаем  из 2-го,..., - го уравнения  с помощью 1-го уравнения. Для этого из 2-го уравнения вычитаем 1-е уравнение, умноженное на , из 3-го уравнения вычитаем 1-е уравнение, умноженное на , и так далее до умножения на .

При этом может оказаться, что одно или несколько уравнений приобрели вид:

После 1-го этапа:

Пусть . Если это не так, то…

2-й этап.

Исключаем  из 3-го,..., - го уравнения  с помощью 2-го уравнения. Для этого из -го уравнения вычитаем 2-е уравнение, умноженное на .

Может при этом оказаться, что некоторые уравнения имеют вид . С ними поступим так же.

После - го этапа:

Возможны 2 случая: