ВМ2 ЛЕКЦИИ (ЧАСТЬ 1) (Лекции (ворд)), страница 4

1.

, подставим в -е уравнение. Найдем и так далее до .

По построению ни одно из чисел в случае находится единственное решение системы (1).

2. (то есть матрица преобразованной системы трапециевидная). Назовем переменные

свободными, - базисными, перепишем преобразованную систему (1) в виде

Система (3)- система с треугольной матрицей, на главной диагонали которой нет нулей решение существует и только одно. Ищем это решение (обратный ход метода Гаусса).

Найдем из последнего уравнения. Оно зависит от произвольных постоянных (всего ). Подставим в - е уравнение, найдем и так далее. Таким образом найдем .

Общее решение:

Замечание 1.

Метод Гаусса применим для решения любой СЛАУ. При этом, если система не совместна, то метод Гаусса может это установить.

Замечание 2.

Метод Гаусса позволяет вычислять ранг матрицы определитель квадратной матрицы.

Замечание 3.

Совместная система имеет единственное решение, если ее матрица приводится к треугольному виду , и бесконечное множество решений, если .

§ Линейные пространства.

п.1. Определение линейного пространства. Примеры.

Определение 1. Множество элементов любой природы с введенными на этом множестве ограничениями:

1). Сложение элементов ,

2) умножение элемента на действительное число

называется линейным пространством.

1.

2.

3.

4.

5.

6. где - ненулевой элемент.

7. - противоположный элемент.

8.

Здесь - произвольные элементы (векторы) нашего множества , - произвольные действительные числа.

Замечание: На одном и том же множестве можно вводить операции различными способами, необходимо только, чтобы , и выполнялись 8 аксиом, при этом будем получать различные линейные пространства.

Утверждение 1. Нулевой элемент единственный.

Доказательство:

Пусть есть , тогда

Утверждение 2. Противоположный элемент единственный.

Доказательство.

Пусть