ВМ2 ЛЕКЦИИ (ЧАСТЬ 1) (940788)
Текст из файла
ВМ-2 лекции. 1-й семестр.
Комплексные числа.
Определение: комплексным числом называется выражение вида , где
- действительные числа,
- «мнимая единица»:
.
Определение: число называется числом, комплексно сопряженным к числу
.
Комплексная плоскость:
- угол, который составляет радиус-вектор с положительным направлением оси
Если число лежит в первом квадранте:
.
- тригонометрическая форма записи.
- алгебраическая форма записи.
О чевидно, что комплексное число не меняется, если
,
целое.
Пример: записать в тригонометрической форме
Определения:
Определение: Суммой комплексных чисел называется комплексное число
:
Определение: Произведением комплексных чисел называется комплексное число
:
Легко поверить, перемножив: учитывая, что
Определение: Частным комплексных чисел называется комплексное число
:
Используя тригонометрическую форму записи легко вычислить производное и частное:
Задание: используя формулу Муавра, вывести формулу для
Свойства модулей комплексного числа.
Часть 1. Матрицы. Определители. Решение систем уравнений.
п.1. Матрицы и действия над ними. Типы матриц.
Определение 1. Матрицей порядка назовем прямоугольную таблицу из
чисел, состоящую из
строк и
столбцов.
Числа называются элементами матрицы
. Элемент
стоит на пересечении
-той троки и
-того столбца.
Типы матриц.
1). Если , то матрица называется квадратной.
Если все элементы, лежащие ниже главной диагонали равны нулю, то матрица называется верхне-треугольной.
- нижне-треугольная матрица.
4).
- диагональная матрица.
5).
- «единичная» матрица.
Определение 2: Матрицы и
одинакового порядка называются равными (запись:
=
), если
,
.
Определение 3: Транспонировать матрицу- значит записать строки столбцами с теми же номерами ( столбцы строками с теми же номерами).
Определение 4: Квадратная матрица называется симметричной, если
.
Утверждение: , если
- симметричная.
Определение 5: Пусть ,
, обе матрицы одинакового порядка. Тогда суммой матриц
и
называется матрица
.
.
.
Определение 6: Пусть и
- действительное число. Тогда матрица
называется произведением матрицы на число
, если
, {
,
}
Операции ,
называются линейными.
Свойства линейных операций над матрицами.
Определение 7: Пусть ,
. Тогда матрица
называется произведением матриц
и
и обозначается
, если
{
,
}.
§ 2. Определители.
п.1. Перестановки, подстановки.
Пусть - первые
натуральных чисел.
Определение 1: Перестановкой - го порядка называется упорядоченная последовательность элементов множества
, взятая без пропусков и повторений.
Пример:
. Выпишем все возможные перестановки
-го порядка:
Всего существует возможных перестановок
-го порядка.
Замечание: всех возможных перестановок
- го порядка.
Определение 2: Элементы перестановки
образуют инверсию (беспорядок), если
, но
.
Определение 3: Транспозиция элементов и
- перемена местами
. Все остальные элементы оставляем без изменений.
Определение 4: Обозначим через - общее число инверсий
. Если число
четное (нечетное), то перестановка называется четной (нечетной).
Утверждение 1. Любая транспозиция меняет четность перестановки.
Доказательство: Пусть меняются местами соседние элементы, тогда справедливость утверждения очевидна. Пусть теперь меняются местами , между которыми
элементов:
S чисел
Этого можно достичь, меняя местами соседние элементы раз.
Четность перестановки: так как меняем элементы раз,
- число нечетное
окончательная четность перестановки меняется.
Запишем две перестановки друг под другом, например: и интерпретируем эту запись, как отображение
.
.
Определение 5: Подстановкой -го порядка называется взаимнооднозначное отображение множества
самого в себя по закону, который выражается записью:
Определение 6: , где
- число инверсий в перестановке
,
- число инверсий в перестановке
. Если
- четное число (нечетное), то подстановка
называется четной (нечетной).
Очевидно, что одна и та же подстановка -го порядка может быть записана
способами (переставляем пары
).
Все записи одной и той же подстановки имеют одинаковую четность.
п.2. Свойства определителей.
Определение 1: Число
называется определителем
-го порядка матрицы
.
1. Определитель -го порядка представляет собой сумму из
слагаемых.
2. Каждое слагаемое представляет из себя произведение элементов определителя, взятого по одному из каждой строки и каждого столбца, взятое со знаком
.
Пример:
Выписать общую формулу для определителя 3-го порядка.
п.3. Свойства определителя.
1). Определитель матрицы не меняется при транспонировании, то есть .
Доказательство:
Пусть есть матрица . Пусть также
.
.
Рассмотрим произвольное слагаемое в определителе :
. Это произведение входит в определитель
со знаком, определяемым подстановкой :
. Очевидно, что четность подстановки
и
совпадает
определители
и
состоят из одинаковых слагаемых
2). Если хотя бы элементы одной строки в определителе равны нулю, то
= 0.
3). После перемены местами двух строк, определитель меняет знак.
Доказательство:
Пусть поменяли местами ю и
ю строки. Получили матрицу
. Необходимо доказать, что
Рассмотрим произвольное слагаемое в определителе .
Данное произведение входит в со знаком, определяемым четностью подстановки
:
. Подстановки
и
имеют разную четность
и
различны
и
состоят из одних произведений, но взятых с противоположными знаками
=
.
4). Если определитель содержит две одинаковых строки, то он равен нулю.
Доказательство:
Переставим одинаковые строки. С одной стороны, меняет знак, а с другой он не изменится
.
5). Общий множитель элементов некоторой строки можно вынести за знак определителя.
6). Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
Доказательство: смотри свойства 4) и 5).
7). Пусть элементы -той строки могут быть записаны в виде:
, где
.
Тогда справедлива формула:
8). Если одна из строк определителя является линейной комбинацией каких-либо других строк, то такой определитель равен нулю.
9). Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки прибавить соответственно элементы некоторых других строк, взятых с некоторым коэффициентом.
Замечание: так как , то аналогичные свойства 1) - 9) выполнены и для столбцов.
Утверждение 1 (без доказательства). Пусть и
- матрицы одного порядка. Тогда
Утверждение 2.
Утверждение 3. (очевидно из утверждения 2)
п.4. Миноры и алгебраические дополнения.
Вычисление определителя разложением по строке и столбцу.
Определение 1. Минором -го порядка матрицы
(не обязательно квадратной) называется определитель, стоящий на пересечении некоторой
-й строки и
-го столбца.
Определение 2. Пусть . Минором к элементу
называется определитель, полученный из определителя
после вычеркивания
-й строки и
-го столбца.
Определение 3. Величина называется алгебраическим дополнением к элементу
.
Лемма (без доказательства).
Произведение является суммой слагаемых вида
, взятых с некоторыми знаками. То есть это произведение представляет из себя сумму некоторых слагаемых из
, причем можно доказать, что знак каждого такого слагаемого такой же, как и в
.
Теорема (о вычислении определителя разложением по 1-той строке):
(*) (формула разложения определителя по 1-той строке)
Доказательство:
В силу леммы 1-я часть формулы является суммой произведений элементов, входящих в (причем с тем же знаком).
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.