Главная » Просмотр файлов » ВМ2 ЛЕКЦИИ (ЧАСТЬ 1)

ВМ2 ЛЕКЦИИ (ЧАСТЬ 1) (940788)

Файл №940788 ВМ2 ЛЕКЦИИ (ЧАСТЬ 1) (Лекции (ворд))ВМ2 ЛЕКЦИИ (ЧАСТЬ 1) (940788)2013-09-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ВМ-2 лекции. 1-й семестр.

Комплексные числа.

Определение: комплексным числом называется выражение вида , где - действительные числа, - «мнимая единица»: .

= «реальная часть»

= «мнимая часть»

Определение: число называется числом, комплексно сопряженным к числу .

Комплексная плоскость:

- угол, который составляет радиус-вектор с положительным направлением оси

Если число лежит в первом квадранте: .

- тригонометрическая форма записи.

- алгебраическая форма записи.

О чевидно, что комплексное число не меняется, если , целое.

(«аргумент» )

- главное значение аргумента.


Пример: записать в тригонометрической форме

Р ешение: ,

Определения:

1). . Числа равны

2).

Числа равны ,

Определение: Суммой комплексных чисел называется комплексное число :

Определение: Произведением комплексных чисел называется комплексное число :

.

Легко поверить, перемножив: учитывая, что

Определение: Частным комплексных чисел называется комплексное число :

.

Очевидно: , .

Используя тригонометрическую форму записи легко вычислить производное и частное:

Пример:

- формула Муавра.

Задание: используя формулу Муавра, вывести формулу для

Решение: Формула Муавра для :

Учитывая, что , , , получаем:

.

.

Свойства модулей комплексного числа.

1.

2.

3.

4.

5.

6. ,

7.

8.

Определение: , если .

Пусть . Тогда .

Здесь - значений.

Задача:

Р ешение:


Часть 1. Матрицы. Определители. Решение систем уравнений.

п.1. Матрицы и действия над ними. Типы матриц.

Определение 1. Матрицей порядка назовем прямоугольную таблицу из чисел, состоящую из строк и столбцов.

Числа называются элементами матрицы . Элемент стоит на пересечении -той троки и -того столбца.

{ , }

Типы матриц.

1). Если , то матрица называется квадратной.

2). - «нуль-матрица».

3). Главная диагональ:


Если все элементы, лежащие ниже главной диагонали равны нулю, то матрица называется верхне-треугольной.


- нижне-треугольная матрица.


4).

- диагональная матрица.


5).

- «единичная» матрица.

Определение 2: Матрицы и одинакового порядка называются равными (запись: = ), если , .

Определение 3: Транспонировать матрицу- значит записать строки столбцами с теми же номерами ( столбцы строками с теми же номерами).

Пример: .

Определение 4: Квадратная матрица называется симметричной, если .

Пример: .

Утверждение: , если - симметричная.

Определение 5: Пусть , , обе матрицы одинакового порядка. Тогда суммой матриц и называется матрица . . .

Определение 6: Пусть и - действительное число. Тогда матрица

называется произведением матрицы на число , если , { , }

Операции , называются линейными.

Свойства линейных операций над матрицами.

1.

2.

3.

4.

5.

Определение 7: Пусть , . Тогда матрица называется произведением матриц и и обозначается , если { , }.

1. Вообще говоря, .

2.

§ 2. Определители.

п.1. Перестановки, подстановки.

Пусть - первые натуральных чисел.

Определение 1: Перестановкой - го порядка называется упорядоченная последовательность элементов множества , взятая без пропусков и повторений.

Пример: . Выпишем все возможные перестановки -го порядка:

.

Всего существует возможных перестановок -го порядка.

Замечание: всех возможных перестановок - го порядка.

Определение 2: Элементы перестановки образуют инверсию (беспорядок), если , но .

Определение 3: Транспозиция элементов и - перемена местами . Все остальные элементы оставляем без изменений.

Определение 4: Обозначим через - общее число инверсий . Если число четное (нечетное), то перестановка называется четной (нечетной).

Утверждение 1. Любая транспозиция меняет четность перестановки.

Доказательство: Пусть меняются местами соседние элементы, тогда справедливость утверждения очевидна. Пусть теперь меняются местами , между которыми элементов:

.


S чисел

Этого можно достичь, меняя местами соседние элементы раз.

Четность перестановки: так как меняем элементы раз, - число нечетное окончательная четность перестановки меняется.

Запишем две перестановки друг под другом, например: и интерпретируем эту запись, как отображение . .

Определение 5: Подстановкой -го порядка называется взаимнооднозначное отображение множества самого в себя по закону, который выражается записью:

. Здесь , … , .

Определение 6: , где - число инверсий в перестановке ,

- число инверсий в перестановке . Если - четное число (нечетное), то подстановка называется четной (нечетной).

Очевидно, что одна и та же подстановка -го порядка может быть записана способами (переставляем пары ).

Все записи одной и той же подстановки имеют одинаковую четность.

п.2. Свойства определителей.

Пусть есть матрица .

Определение 1: Число называется определителем -го порядка матрицы .

Обозначение: , .

1. Определитель -го порядка представляет собой сумму из слагаемых.

2. Каждое слагаемое представляет из себя произведение элементов определителя, взятого по одному из каждой строки и каждого столбца, взятое со знаком .

(всего 6 слагаемых).

Пример:

Выписать общую формулу для определителя 3-го порядка.

п.3. Свойства определителя.

1). Определитель матрицы не меняется при транспонировании, то есть .

Доказательство:

Пусть есть матрица . Пусть также . .

Очевидно , { , }.

Рассмотрим произвольное слагаемое в определителе :

. Это произведение входит в определитель

со знаком, определяемым подстановкой : . Очевидно, что четность подстановки и совпадает определители и состоят из одинаковых слагаемых

= = .

2). Если хотя бы элементы одной строки в определителе равны нулю, то = 0.

3). После перемены местами двух строк, определитель меняет знак.

Доказательство:

Пусть поменяли местами ю и ю строки. Получили матрицу . Необходимо доказать, что

= .

или

.

Рассмотрим произвольное слагаемое в определителе .

.

Данное произведение входит в со знаком, определяемым четностью подстановки :

. Подстановки и имеют разную четность и различны и состоят из одних произведений, но взятых с противоположными знаками = .

4). Если определитель содержит две одинаковых строки, то он равен нулю.

Доказательство:

Переставим одинаковые строки. С одной стороны, меняет знак, а с другой он не изменится .

5). Общий множитель элементов некоторой строки можно вынести за знак определителя.

.

6). Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

Доказательство: смотри свойства 4) и 5).

7). Пусть элементы -той строки могут быть записаны в виде: , где .

Тогда справедлива формула:

8). Если одна из строк определителя является линейной комбинацией каких-либо других строк, то такой определитель равен нулю.

9). Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки прибавить соответственно элементы некоторых других строк, взятых с некоторым коэффициентом.

Замечание: так как , то аналогичные свойства 1) - 9) выполнены и для столбцов.

Утверждение 1 (без доказательства). Пусть и - матрицы одного порядка. Тогда

.

Утверждение 2.


Утверждение 3. (очевидно из утверждения 2)

п.4. Миноры и алгебраические дополнения.

Вычисление определителя разложением по строке и столбцу.

Пусть .

Определение 1. Минором -го порядка матрицы (не обязательно квадратной) называется определитель, стоящий на пересечении некоторой -й строки и -го столбца.

Определение 2. Пусть . Минором к элементу называется определитель, полученный из определителя после вычеркивания -й строки и -го столбца.

Определение 3. Величина называется алгебраическим дополнением к элементу .

Лемма (без доказательства).

Произведение является суммой слагаемых вида , взятых с некоторыми знаками. То есть это произведение представляет из себя сумму некоторых слагаемых из , причем можно доказать, что знак каждого такого слагаемого такой же, как и в .

Теорема (о вычислении определителя разложением по 1-той строке):

(*) (формула разложения определителя по 1-той строке)

Доказательство:

В силу леммы 1-я часть формулы является суммой произведений элементов, входящих в (причем с тем же знаком).

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
1,78 Mb
Материал
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6376
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее