ВМ2 ЛЕКЦИИ (ЧАСТЬ 2) (940789)
Текст из файла
Примеры.
2. Множество трехмерных векторов- направленных отрезков.
- по правилу трехгранника или параллелограмма.
8 аксиом выполняются.
как обычно,
как обычно. Это есть линейные пространства.
4. Множество многочленов степени
- обычные алгебраические операции.
Это есть линейное пространство.
5. Множество непрерывных функций на отрезке .
- обычные алгебраические операции.
8 аксиом выполняются.
Это есть линейное пространство.
Контрольные примеры.
1. Множество многочленов степени .
Введем - обычные алгебраические операции.
(так как 2- многочлен нулевой степени)
2.
Р ассмотрим векторы- направленные отрезки, параллельные либо
- обычные алгебраические операции.
Может быть . Это не есть линейное пространство.
3. Пусть - множество действительных чисел.
Но выполнена первая аксиома:
это не есть линейное пространство.
п.2. Базис и размерность пространства.
Определение 1. Линейной комбинацией векторов называется вектор
вида
, где
- некоторые действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.
Определение 2. Система векторов называется линейно-зависимой, если
:
Если же линейная комбинация векторов обращается в
, только если
, то система
называется линейно-независимой.
Утверждение 1. - линейно-зависимая система
хотя бы один из векторов может быть выражен в виде линейной комбинации других.
Утверждение 2. Если среди есть
, то это линейно-независимая система.
Доказательство.
- линейно-зависимая, так как
(не все
равны нулю)
Утверждение 3. Если система содержит линейно-зависимую подсистему, то
- линейно-зависимая система.
Доказательство.
Пусть для определенности - линейно-зависимая подсистема
:
- линейно-зависимая система по определению.
Определение 3.
Система векторов называется базисом в линейном пространстве
, если
1). - линейно-независимая система
Числа - координаты
в базисе
, правая часть равенства
называется разложением
по базису
.
Утверждение 4. Разложение вектора по базису- единственное.
Доказательство. Пусть два разложения :
Если вычесть одно разложение из другого, получим:
Но система линейно-независима
последнее равенство возможно тогда и только тогда, когда
,
.
Следствие. Два вектора равны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты в некотором базисе совпадают.
Утверждение 5. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении на число его координаты умножаются на это число.
Теорема. Пусть в линейном пространстве
базис
из
векторов. Тогда
система из большего чем
числа векторов является линейно-зависимой.
Доказательство. Пусть - базис, система
- произвольная система векторов,
. Рассмотрим произвольную комбинацию
:
(V).
……………………….
Подставим эти разложения в выражение (V), приравниваем .
Но - линейно-независимая система.
однородных уравнений,
неизвестных
,
Такая система нетривиально совместна
:
система
является линейно-зависимой.
Следствие. В линейном пространстве любой базис состоит из одного и того же числа векторов.
Доказательство. Пусть у нас два базиса: и
. Предположим
. Тогда по теореме
- линейно-зависима, чего не может быть, так как
- базис
не меньше
.
Аналогично доказывается, что не меньше
.
Определение 5. Размерностью линейного пространства называется число векторов в базисе. Если
можно указать
линейно-независимых векторов, то говорят, что пространство
Примеры.
1. - матрицы
,
- алгебраические операции.
2. - пространство многочленов, степени
Возможно только при
3. - множество функций
можно представить как
линейно-независимых функций
4. - множество сходящихся последовательностей.
…………….
5. На плоскости два неколлинеарных вектора образуют базис, в пространстве
три неколлинеарных вектора образуют базис.
п.3. Переход к новому базису. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
……………………..
Определение. Матрица называется матрицей перехода от базиса
к базису
:
Утверждение. Матрица перехода не вырождена.
Доказательство:
Но - линейно-независимые векторы
последнее равенство возможно тогда и только тогда, когда
,
Замечание. Матрицы и
взаимно обратимы.
Утверждение. Пусть - координаты
в базисах
.
Доказательство.
- линейно-независимая система
,
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
§ 1. Векторная алгебра.
п. 1. Векторы- направленные отрезки. Линейные операции над векторами.
Определения
1 .
. Вектор- направленный отрезок.
3. колинеарны
будучи приведенными к общему началу, лежат на одной прямой.
4. компланарны
будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости.
5. , если они имеют одинаковые направления и длины.
6
. Вектор
, построенный по правилу треугольника или параллелограмма называется суммой векторов
.
правило треугольника правило параллелограмма
Определение. Произведением на число
назовем вектор
Свойства линейных операций над векторами.
Вывод. Множество векторов- направленных отрезков с операциями как дано в определениях, является линейным пространством.
Для пространства направленных отрезков справедливы все теоремы, доказанные для общего случая.
п.2. Линейная зависимость векторов.
Базис. Базисы на прямой, на плоскости, в пространстве.
Определение 1. Векторы образуют линейно-зависимую систему, если существуют
:
Определение 2. образуют базис, если
1). - линейно-независимая система
2). можно записать в виде:
(разложение базиса)
Утверждение 1. - линейно-зависимая система
хотя бы один из них выражается линейным образом через другие.
Утверждение 2. Пусть среди есть
, тогда
- линейно-зависимая.
Утверждение 3. Пусть среди есть линейно-зависимая подсистема
, тогда
Утверждение 4. Пусть - линейно-зависимая,
. Тогда
и
колинеарны.
Доказательство:
2. Пусть - коллинеарны
линейно-зависимые.
Утверждение 5. три вектора на плоскости линейно-зависимые.
Доказательство.
1). колинеарны
смотри утверждение 4.
Утверждение 6. некомпланарные
линейно-независимы.
Доказательство.
. Пусть
- компланарны. Докажем, что
линейно-зависимы.
- линейно-зависимы. Среди
нет коллинеарной пары.
Если же среди два вектора коллинеарны, то
линейно-зависимы в силу утверждения 5.
. Пусть
линейно-зависимы. Тогда хотя бы один из векторов, например
должен линейно выражаться через другие.
Утверждение 7. Любые 4 вектора в пространстве линейно-зависимы.
Доказательство.
1. Пусть компланарны
линейно-зависимы
- линейно-зависимая система.
2. Пусть среди нет компланарной тройки. Достроим параллелепипед на векторах
так, что вектор
является диагональю.
Определение 1. Вектор ,
называется базисом на прямой L, если
вектор
,
||
может быть записан в виде
(1).
Определение 2. Два линейно независимых вектора , лежащие в плоскости
, называются базисом на плоскости Р, если
вектор
, лежащий на плоскости
можно записать в виде
. (2)
Определение 3.Три линейно независимых вектора называются базисом в пространстве, если
вектор
может быть записан в виде
(3)
Правые части соотношений (1), (2), (3) называются разложением вектора по базису .
Числа называются координатами вектора в базисе.
Теорема 1.
1). Любой ненулевой вектор ,
, образует базис на прямой
.
2). два неколлинеарных вектора
, лежащие в плоскости
, образуют базис.
3). три некомпланарных вектора
образуют базис в пространстве.
Справедливость следует из утверждений 1-7.
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.