ВМ2 ЛЕКЦИИ (ЧАСТЬ 3) (940790)
Текст из файла
§ Прямая в пространстве.
п.1. Каноническое уравнение прямой, параметрическое уравнение прямой, уравнение прямой по двум точкам.
Задача. 
К
аноническое уравнение прямой: 
(1)
Замечание.
Соотношение (1) понимается как пропорции.
- параметрическое уравнение прямой, 
Задача о пересечении прямой с плоскостью (смотри семинар)
Задача о построении прямой по двум точкам.
п.2. Общие уравнения прямой. Связь с каноническими уравнениями.
(4) 
- общие уравнения прямой
К
ак, зная общие уравнения прямой, выписать канонические?
можно взять 
Для того, чтобы найти 
фиксируем 
и решаем
Может оказаться, что 
не существует. Тогда 
находим 
. Если таких 
не существует, то фиксируем 
.
Обязательно один из трёх вариантов , 
или .
Точка 
найдется. Знаем 
.
п.3. Взаимное расположение прямой и плоскости.
1.
не 
не 
2
. 
3
. 
не 
п.4. Взаимное расположение прямых.
Две прямые в пространстве.
1
. 
, 
2. 
3. 
4. Скрещиваются
Случай 4. реализуется 
некомпланарны 
- общий перпендикуляр,
и 
К
ривые второго порядка.
Если
, то говорят, что 
- кривая 2-го порядка.
Не всякое уравнение такого типа определяет кривую 2-го порядка. Например, 
- не определяет никакой кривой на плоскости
(это так называемый мнимый эллипс).
п.1. Эллипс. Его определение и его свойства.
О
пределение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек на плоскости, называемых фокусами 
есть величина постоянная и равная 
.
Введем каноническую систему координат:
эллипсу
Введем уравнение эллипса в канонической системе координат.
= 
= 
- каноническое уравнение эллипса
Величины 
и 
называются полуосями эллипса.
Пусть 
и ограничена 
При
вертикальные касательные.
Определение 2. Величина 
называется эксцентриситетом эллипса.
, 
для окружности
для окружности,
О
пределение 3. Прямые 
называются директрисами эллипса.
Утверждение (директориальное свойство эллипса):
эллипсу
Итог.
Кривая на плоскости является эллипсом
- для точек кривой
В некоторой декартовой системе координат 
для точек кривой.
О
птическое свойство эллипса.
Пусть луч света выпущен из 
, он отразится от внутренней поверхности эллипса. 
(
- касательная в точке 
) (без доказательства)
Луч пройдет через 
. Затем он отразится и пройдёт через и так далее.
Если источник перемещён в , то в фокусе появляется мнимый источник.
- тоже эллипс.
п.2. Гипербола. Её определение и свойства.
О
пределение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами есть величина постоянная и равная .
Выведем каноническое уравнение гиперболы.
В
ведем каноническую систему координат:
Пусть 
Пусть 
= … (смотри чертеж)
Возведем в квадрат, .…
Пусть 
- каноническое уравнение гиперболы. 
- полуоси гиперболы.
Гипербола имеет наклонные асимптоты 
(диагонали основного прямоугольника лежат на наклонных асимптотах)
При 
, 
- нет точек.
Докажем, что - наклонные асимптоты для случая 
, 
- уравнение наклонной асимптоты.
При , - нет точек гиперболы.
при , наклонная асимптота 
.
Аналогично доказывается наличие наклонной асимптоты
1. 
при 
,
2. при , 
3. при ,
Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется величина .
Определение. Прямые 
называются директрисами гиперболы.
Утверждение (директориальное свойство гиперболы).
- задание любых двух параметров из четырех однозначных определений гиперболы.
- касательная к точке .
Можно доказать, что 
Луч света, выпущенный из точки после отражения от внутренней поверхности гиперболы будет двигаться так, как будто выпущен из , то есть если в одном из фокусов поместить точечный источник, то в другом фокусе появляется мнимый источник.
- уравнение гиперболы, сопряженной к .
п.3. Парабола и её свойства.
О
пределение. Парабола- геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний которых до фиксированной точки, называемой фокусом 
до фиксированной прямой, называемой директрисой 
равна 1.
Введем каноническую систему координат.
- в канонической системе координат.
Число 
называется фокальным параметром.
, точка 
- посередине между и .
Самостоятельно доказать, что в канонической системе координат
- каноническое уравнение параболы.
Свойство параболы:
П
усть в точке 
построена касательная к параболе.
Пусть 
Тогда 
, где 
Оптическое свойство параболы.
Если источник света поместить в фокус, то после отражения от внутренней поверхности параболы лучи света пойдут параллельно оси 
.
Обратно: если взять бесконечно удаленный источник, то в фокусе образуется мнимый источник.
Замечание: 
- парабола, вытянутая вдоль оси 
.
Поверхности второго порядка.
Пусть введена декартова система координат в пространстве.
Пусть 
Тогда говорят, что уравнение определяет поверхности 2-го порядка в пространстве.
- «мнимый» эллипсоид
Рассмотрим основные типы поверхностей 2-го порядка.
1. Эллипсоид.
-каноническое уравнение эллипсоида.
Соответствующая система координат называется канонической.
Метод сечений.
эллипс
- полуоси эллипсоида
Не существует точек эллипсоида
Например, рассмотрим случай 
Если 
, то 
нет таких точек эллипсоида.
2. Однополосный гиперболоид.
- каноническое уравнение однополостного гиперболоида.
С
оответствующая система координат называется
канонической.
Сечения:
гипербола 
гипербола 
эллипс - горловой эллипс
эллипс
Через каждую точку однополостного гиперболоида можно провести две прямые, целиком лежащие в гиперболоиде.
Такие поверхности называются линейчатые.
Замечание: 
- однополостный гиперболоид, вытянутый вдоль
3. Двухполостный гиперболоид.
- каноническое уравнение двухполостного гиперболоида.
1). 
, то не существует точек двухполостного гиперболоида.
эллипсы
2). гипербола 
3). гипербола 
4. Эллиптический параболоид.
- каноническое уравнение эллиптического параболоида.
не 0
- эллипсы.
парабола 
парабола 
Замечание: 
вытягивается по оси
5. Гиперболический параболоид.
- каноническое уравнение гиперболического параболоида
- сопряженные гиперболы
парабола 
парабола
Гиперболический параболоид- линейчатая поверхность. Через каждую можно провести две прямые, целиком лежащие на поверхности.
Точка 
- точка седла.
Замечание. 
…. Вытянуто вдоль оси
6. Конус.
- каноническое уравнение конуса.
точка
эллипсы 
прямые 
прямые 
Конус- линейчатая поверхность
Замечание.
1
). 
2). 
- верхняя часть.
3
). Эллипс, гипербола, парабола- конические сечения.
7. Цилиндрические поверхности.
Пусть в уравнении поверхности отсутствует одна переменная. Например, 
.
На плоскости 
- кривая 
.
Проведем через каждую точку кривой прямую, параллельную 
(образующую). Получим цилиндр.
Название цилиндра определяется названием кривой .
Эллиптический цилиндр. Параболический цилиндр
Г
иперболический цилиндр.
Замечание.
- цилиндрическая поверхность.
коническая поверхность.
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
