ВМ2 ЛЕКЦИИ (ЧАСТЬ 1) (Лекции (ворд))

ВМ-2 лекции. 1-й семестр.

Комплексные числа.

Определение: комплексным числом называется выражение вида , где - действительные числа, - «мнимая единица»: .

= «реальная часть»

= «мнимая часть»

Определение: число называется числом, комплексно сопряженным к числу .

Комплексная плоскость:

- угол, который составляет радиус-вектор с положительным направлением оси

Если число лежит в первом квадранте: .

- тригонометрическая форма записи.

- алгебраическая форма записи.

О чевидно, что комплексное число не меняется, если , целое.

(«аргумент» )

- главное значение аргумента.

Пример: записать в тригонометрической форме

Р ешение: ,

Определения:

1). . Числа равны

2).

Числа равны ,

Определение: Суммой комплексных чисел называется комплексное число :

Определение: Произведением комплексных чисел называется комплексное число :

.

Легко поверить, перемножив: учитывая, что

Определение: Частным комплексных чисел называется комплексное число :

.

Очевидно: , .

Используя тригонометрическую форму записи легко вычислить производное и частное:

Пример:

- формула Муавра.

Задание: используя формулу Муавра, вывести формулу для

Решение: Формула Муавра для :

Учитывая, что , , , получаем:

.

.

Свойства модулей комплексного числа.

1.

2.

3.

4.

5.

6. ,

7.

8.

Определение: , если .

Пусть . Тогда .

Здесь - значений.

Задача:

Р ешение:

Часть 1. Матрицы. Определители. Решение систем уравнений.

п.1. Матрицы и действия над ними. Типы матриц.

Определение 1. Матрицей порядка назовем прямоугольную таблицу из чисел, состоящую из строк и столбцов.

Числа называются элементами матрицы . Элемент стоит на пересечении -той троки и -того столбца.

{ , }

Типы матриц.

1). Если , то матрица называется квадратной.

2). - «нуль-матрица».

3). Главная диагональ:

Если все элементы, лежащие ниже главной диагонали равны нулю, то матрица называется верхне-треугольной.

- нижне-треугольная матрица.

4).

- диагональная матрица.

5).

- «единичная» матрица.

Определение 2: Матрицы и одинакового порядка называются равными (запись: = ), если , .

Определение 3: Транспонировать матрицу- значит записать строки столбцами с теми же номерами ( столбцы строками с теми же номерами).

Пример: .

Определение 4: Квадратная матрица называется симметричной, если .

Пример: .

Утверждение: , если - симметричная.

Определение 5: Пусть , , обе матрицы одинакового порядка. Тогда суммой матриц и называется матрица . . .

Определение 6: Пусть и - действительное число. Тогда матрица

называется произведением матрицы на число , если , { , }

Операции , называются линейными.

Свойства линейных операций над матрицами.

1.

2.

3.

4.

5.

Определение 7: Пусть , . Тогда матрица называется произведением матриц и и обозначается , если { , }.

1. Вообще говоря, .

2.

§ 2. Определители.

п.1. Перестановки, подстановки.

Пусть - первые натуральных чисел.

Определение 1: Перестановкой - го порядка называется упорядоченная последовательность элементов множества , взятая без пропусков и повторений.

Пример: . Выпишем все возможные перестановки -го порядка:

.

Всего существует возможных перестановок -го порядка.

Замечание: всех возможных перестановок - го порядка.

Определение 2: Элементы перестановки образуют инверсию (беспорядок), если , но .

Определение 3: Транспозиция элементов и - перемена местами . Все остальные элементы оставляем без изменений.

Определение 4: Обозначим через - общее число инверсий . Если число четное (нечетное), то перестановка называется четной (нечетной).

Утверждение 1. Любая транспозиция меняет четность перестановки.

Доказательство: Пусть меняются местами соседние элементы, тогда справедливость утверждения очевидна. Пусть теперь меняются местами , между которыми элементов:

.

S чисел

Этого можно достичь, меняя местами соседние элементы раз.

Четность перестановки: так как меняем элементы раз, - число нечетное окончательная четность перестановки меняется.

Запишем две перестановки друг под другом, например: и интерпретируем эту запись, как отображение . .

Определение 5: Подстановкой -го порядка называется взаимнооднозначное отображение множества самого в себя по закону, который выражается записью:

. Здесь , … , .

Определение 6: , где - число инверсий в перестановке ,

- число инверсий в перестановке . Если - четное число (нечетное), то подстановка называется четной (нечетной).

Очевидно, что одна и та же подстановка -го порядка может быть записана способами (переставляем пары ).

Все записи одной и той же подстановки имеют одинаковую четность.

п.2. Свойства определителей.

Пусть есть матрица .

Определение 1: Число называется определителем -го порядка матрицы .

Обозначение: , .

1. Определитель -го порядка представляет собой сумму из слагаемых.

2. Каждое слагаемое представляет из себя произведение элементов определителя, взятого по одному из каждой строки и каждого столбца, взятое со знаком .

(всего 6 слагаемых).

Пример:

Выписать общую формулу для определителя 3-го порядка.

п.3. Свойства определителя.

1). Определитель матрицы не меняется при транспонировании, то есть .

Доказательство:

Пусть есть матрица . Пусть также . .

Очевидно , { , }.

Рассмотрим произвольное слагаемое в определителе :

. Это произведение входит в определитель

со знаком, определяемым подстановкой : . Очевидно, что четность подстановки и совпадает определители и состоят из одинаковых слагаемых

= = .

2). Если хотя бы элементы одной строки в определителе равны нулю, то = 0.

3). После перемены местами двух строк, определитель меняет знак.

Доказательство:

Пусть поменяли местами ю и ю строки. Получили матрицу . Необходимо доказать, что

= .

или

.

Рассмотрим произвольное слагаемое в определителе .

.

Данное произведение входит в со знаком, определяемым четностью подстановки :

. Подстановки и имеют разную четность и различны и состоят из одних произведений, но взятых с противоположными знаками = .

4). Если определитель содержит две одинаковых строки, то он равен нулю.

Доказательство:

Переставим одинаковые строки. С одной стороны, меняет знак, а с другой он не изменится .

5). Общий множитель элементов некоторой строки можно вынести за знак определителя.

.

6). Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

Доказательство: смотри свойства 4) и 5).

7). Пусть элементы -той строки могут быть записаны в виде: , где .

Тогда справедлива формула:

8). Если одна из строк определителя является линейной комбинацией каких-либо других строк, то такой определитель равен нулю.

9). Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки прибавить соответственно элементы некоторых других строк, взятых с некоторым коэффициентом.

Замечание: так как , то аналогичные свойства 1) - 9) выполнены и для столбцов.

Утверждение 1 (без доказательства). Пусть и - матрицы одного порядка. Тогда

.

Утверждение 2.

Утверждение 3. (очевидно из утверждения 2)

п.4. Миноры и алгебраические дополнения.

Вычисление определителя разложением по строке и столбцу.

Пусть .

Определение 1. Минором -го порядка матрицы (не обязательно квадратной) называется определитель, стоящий на пересечении некоторой -й строки и -го столбца.

Определение 2. Пусть . Минором к элементу называется определитель, полученный из определителя после вычеркивания -й строки и -го столбца.

Определение 3. Величина называется алгебраическим дополнением к элементу .

Лемма (без доказательства).

Произведение является суммой слагаемых вида , взятых с некоторыми знаками. То есть это произведение представляет из себя сумму некоторых слагаемых из , причем можно доказать, что знак каждого такого слагаемого такой же, как и в .

Теорема (о вычислении определителя разложением по 1-той строке):

(_*) (формула разложения определителя по 1-той строке)

Доказательство:

В силу леммы 1-я часть формулы является суммой произведений элементов, входящих в (причем с тем же знаком).