ВМ2 ЛЕКЦИИ (ЧАСТЬ 1) (Лекции (ворд)), страница 2

В слагаемых правой части не может быть повторов, так как все произведения, содержащие могут быть только в . Внутри суммы тоже не может быть повторов.

левая и правая части состоят из n! одних и тех же слагаемых без пропусков и повторений => (_*) справедливо:

Замечание:

1. Аналогично доказывается формула разложения по -й строке:

2. Аналогично доказывается формула разложения по -му столбцу:

3. Определитель Вандермонда.

По индукции:

Пример:

n=3:

п.5. Обратная матрица и её вычисление.

Пусть есть .

Определение 1. Матрица называется левой (правой) обратной к матрице , если

.

Утверждение 1. Пусть матрицы (левая) и (правая) - обратные к матрице . Тогда .

Доказательство: . .

Матрица называется обратной матрицей к матрице , то есть .

Лемма (о фальшивом разложении определителя).

.

Доказательство:

В левой части выписано разложение определителя по -той строке, а так как -тая и -тая строки не совпадают, следовательно получаем равенство нулю.

Следствие: . .

Теорема (о существовании обратной матрицы).

.

Доказательство:

1). Необходимость: Пусть , тогда

2). Достаточность: Пусть , докажем существование

Рассмотрим

. Здесь - алгебраические дополнения к

Докажем, что является левой обратной матрицей к матрице . Необходимо, чтобы .

. Докажем, что .

.

Аналогично доказывается, что является правой обратной к матрице : , то есть .

Замечание: .

Утверждение 2.

Доказательство. Пусть есть две обратные матрицы- и .

.

Утверждение 3.

Доказательство: Необходимо проверить, что .

Имеем:

Утверждение 4.

.

Утверждение 5.

Утверждение 6. (очевидно)

Замечание: Формула не используется при больших порядках матрицы . Если , то применяют метод Гаусса.

п.6. Постановка задачи о решении системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Правило Крамера решения систем с квадратной матрицей.

(1)

1). Упорядоченная совокупность из чисел называется решением системы (1) , если при подстановке в левую часть равенства получается верные равенства.

2). Система называется совместной, если она имеет только одно решение (и несовместная в противном случае).

3). Совместная система определена, если она имеет единственное решение (и не определена, если решений больше, чем одно).

Исследовать и решить систему значит:

1). Установить совместность.

2). Если система определена, то найти единственное решение, а если не определена, то множество решений.

называется матрицей системы .

- столбец неизвестных. - столбец правых частей.

Легко проверить, что система (1) может быть задана в матричном виде: (1’)

Определение: две системы называются эквивалентными, если множество их решений совпадает.

Рассмотрим СЛАУ с невырожденной ( ) квадратной матрицей .

Теорема (Крамера). Решение СЛАУ с невырожденной квадратной матрицей существует и единственно, причем справедливы формулы: (формулы Крамера), где

.

Доказательство:

1). Докажем единственность.

Пусть существуют два решения , .

. Домножим равенство на . Слева:

.

.

Таким образом, доказано, что решение единственно. Одновременно получена формула . Действительно: вычисляется по формуле после подстановки в , обращает все уравнения в верные равенства.

Преобразуем

Вычислим : .

В круглых скобках выписано разложение определителя по -тому столбцу. В все столбцы, кроме -го, совпадают с соответствующими столбцами в , а в качестве -того выписан столбец :

. То есть мы доказали: .

Замечание: использование формулы Крамера не целесообразно из-за больших затрат времени (необходимо вычислить определитель -го порядка). Необходимо использовать другой метод (например, метод Гаусса).

§ Ранг матрицы.

п.1. Системы столбцов (строк) линейно-зависимые и независимые. Ранг матрицы, его определение. Теорема о базисном миноре.

Определение 1. (ранг матрицы).

1). Если , то ранг такой матрицы равен нулю.

2). Пусть - ненулевая матрица, тогда рангом матрицы назовем максимальный порядок минора, не равного нулю.

Пример: . .

Все миноры четвертого порядка равны нулю. Ранг матрицы равен 3.

Обозначение: .

Определение 2.

Минор, порядка , не равный нулю, у матрицы с рангом , называется базисным минором (в примере - базисный).

Замечание: базисных миноров может быть много, все они имеют порядок, совпадающий с рангом матрицы, все они должны быть не равны нулю.

Определение 3. Строки и столбцы, формирующие базисный минор, называются базисными строками и столбцами.

Рассмотрим систему столбцов высоты .

строк.

Определение 4. Выражение вида , где -некоторые действительные числа, называется линейной комбинацией столбцов . Числа - коэффициенты линейной комбинации.

Определение 5. Система столбцов - называется линейно-зависимой, если существуют такие числа

( - нулевой столбец, высоты ).

Если же линейная комбинация столбцов равна , и если , то система столбцов называется линейно-независимой.

Определение 6:

Говорят, что столбец линейно выражен через столбцы , если:

, где - некоторые действительные числа .

Утверждение 1.

Система столбцов является линейно-зависимой хотя бы один из столбцов может быть линейно-выражен через другие.

Доказательство:

1. Пусть - линейно-зависимая система столбцов, то есть (не все равные нулю):

. Пусть для определенности .

, то есть столбец линейным образом выражен через .

2. Пусть хотя бы один из столбцов может быть выражен линейным образом через другие.

Пусть для определенности, это столбец

.

.

,

.

Причем, среди не все равны нулю, например система является линейно-зависимой.

Теорема (о базисном миноре).

1. Базисные строки (столбцы) образуют линейно-независимую систему строк (столбцов).

2. Все остальные строки (столбцы) могут быть выражены линейным образом через базисные.

Доказательство: Пусть , . Не уменьшая общности, считаем, что базисный минор (то есть не нулевой минор порядка ) расположен в верхнем левом углу матрицы .

. - базисные столбцы. - не базисные столбцы.

Докажем теорему для столбцов.

Докажем, что столбцы образуют линейно-независимую систему. От противного:

Пусть образуют линейно-зависимую систему . Тогда укороченные базисные столбцы

(содержащие только одни верхние чисел) образуют линейно-зависимую систему. Тогда хотя бы один из столбцов линейным образом выражаются через другие

базисный минор

противоречие. образуют линейно-независимую систему.

Докажем теперь, что любой столбец , , может быть выражен линейным образом через базисные столбцы. Фиксируем . Все . содержит две одинаковые строки .

представляет из себя минор матрицы порядка

все миноры порядка равны нулю .

Меняем , . Разлагаем по нижней строке.

- базисный минор.

(x)

…………….

Алгебраические дополнения к элементам нижней строки не зависят он неё использованы общие обозначения.

(x) (используем )

Столбец линейным образом выражен через базисные столбцы .

Следствия теоремы о базисном миноре.

Следствие 1. Строки матрицы образуют линейно-зависимую систему тогда и только тогда, когда ранг матрицы меньше количества строк.

Доказательство:

Пусть строки матрицы линейно-зависимы среди них есть хотя бы одна не базисная

.

Утверждение 2. Пусть среди столбцов есть линейно-зависимая подсистема. Тогда и вся система столбцов линейно-зависимая.

Доказательство:

Пусть для определенности - линейно-зависимая подсистема и , не все равные нулю.

.

(не все = 0).

являются линейно-зависимыми по определению.

(в доказательстве используем Следствие 1).

Следствие 2. Пусть . строка (столбец) образуют линейно-зависимую систему).

. Пусть строки (столбцы) образуют линейно-зависимую систему, тогда в силу свойств определителей .

. Пусть хотя бы одна строка (столбец) может быть выражена через базисные столбцы линейным образом они вместе с базисными строками образуют линейно-зависимую систему и в силу утверждения все строки матрицы образуют линейно-зависимую систему.

С ледствие 3. Пусть система столбцов содержит столбцов: , - высота столбцов.

Т огда система столбцов линейно зависима. Рассмотрим матрицу:

хотя бы один из столбцов является небазисным

система линейно-зависимая.

Следствие 4. (теорема о ранге матрицы).