ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Цель работы – освоить методику составления уравнений переменных состояния цепи и их численного решения в среде Mathcad^.

Объект и средства исследования

Задается схема RL- или RC-цепи с одним реактивным элементом и источником импульсного напряжения или тока. Требуется найти в качестве выходной величины на заданном интервале времени ток (или напряжение), указанный на схеме стрелкой. Для этого сначала составляется дифференциальное уравнение, определяющее ток катушки или напряжение конденсатора этой схемы, которое решается с помощью одной из функций решения задачи Коши пакета Mathcad. Численное решение этого уравнения состоит в построении таблицы приближенных значений переменной состояния цепи на заданном интервале времени в равноотстоящих узлах сетки. Затем определяется последовательность соответствующих значений искомого напряжения или тока элемента цепи, представляемая таблицей и графиком.

Рабочее задание

1. Для полученного индивидуального задания составить в общем случае два уравнения: одно (основное) для определения переменной состояния цепи (тока катушки или напряжения конденсатора) и второе (при необходимости) – для искомого тока или напряжения элемента цепи.

2. Записать выражение импульса задающего напряжения или тока, определенного своим графиком.

3. Сделать заготовку лабораторной работы, содержащую исходные данные для ее выполнения на компьютере (записать стартовое значение переменной состояния цепи, дифференциальное уравнение в нормальной форме для переменной состояния цепи и при необходимости алгебраическое выражение искомого напряжения или тока элемента цепи).

4. Открыть окно Mathcad на экране компьютера и создать рабочий документ со своим именем, сохранив его на рабочем столе компьютера.

5. Пользуясь методическими указаниями и примером расчета, ввести все необходимые значения и формулы в рабочий документ Mathcad, сохраняя его время от времени.

6. Получить таблицу значений переменной состояния цепи и искомого напряжения или тока элемента цепи. Построить совмещенные графики заданного импульса напряжения или тока, переменной состояния и искомой величины. Сделать проверку полученных результатов.

7. Скопировать документ Mathcad с рабочего стола компьютера на личную дискету.

8. Распечатать рабочий документ. Распечатку подшить к заготовке лабораторной работы.

9.^ Результаты численного анализа искомой величины сопоставить с результатами аналитического расчета искомой величины при помощи интеграла Дюамеля.

Методические указания и рекомендации

По умолчанию начало отсчета относительного времени t совмещают либо с моментом коммутации, либо с моментом появления определенного значения задающего напряжения или тока .

В качестве переменных состояния электрической цепи принимаются токи катушек и напряжения конденсаторов . Предполагается, что значения переменных состояния при : и (их начальные значения) известны.

В Приложении к настоящей работе приведен алгоритм формирования уравнений состояния в общем виде для схемы любого порядка сложности. В данной же работе исследуется цепь первого порядка сложности, что, естественно, упрощает задачу.

Численное решение уравнения первого порядка вида

.

При численном решении этого уравнения с помощью любых предназначенных для этих целей функций результат вычислений – матрица, в первом столбце которой содержатся координаты узлов сетки t₀, t₁,…, t_n, а во втором — значения приближенного решения в соответствующих узлах. Смысл аргументов этих функций разъяснен в Приложении. Отметим лишь, что вектор D^*, содержащий правую часть дифференциального уравнения, теперь вырождается в скаляр D(t, x) =
= f (x₀, t).

Точность вычислений повышается с уменьшением величины ша-
га , которую следует соразмерять с постоянной времени исследуемой цепи .

Пример

Вычислить значения тока i₁(t) резистора R₁ и напряжения u₃(t) резистора R₃ двухполюсника (рис. 17.1) с параметрами его элементов: R₁ = 15 Ом, L₂ = 200 мГн, R₃ = 30 Ом на интервале [0, 100 мс], если задающее напряжение u_о (t) определяется графиком (рис. 17.2).

Рис. 17.1	Рис. 17.2

––––––––––––––––––––––––––––––

^* Derivative (англ.) – производная.

Решение

Получим уравнение состояния цепи (см. рис. 17.1). По законам Кирхгофа

i₁ = i₂ + i₃ = i₂ + G₃u₃,

u₃ = u_L = L₂ ,

R₁i₁ + u_L = u_о.

После подстановки первых двух уравнений в третье и очевидных преобразований получим уравнение состояния цепи

,

где G₁ = , G₃ = ,

.

Интегрируя это уравнение на бесконечно коротком интервале времени в пределах от t = 0– до t = 0+, находим при нулевом начальном значении тока катушки i₂(0–)= i_L (0–) = 0 стартовое значение тока катушки:

.

Выражения искомых зависимых переменных цепи – тока резистора R₁ и напряжения резистора R₃ – являются линейными функциями тока катушки и задающего напряжения :

.

Здесь См,

.

Найдем численное решение уравнения переменной состояния цепи для мс, например, с помощью функции rkfixed математического пакета Mathcad 2000 Professional, реализующей метод Рунге–Кутта с фиксированным шагом.

Исходные данные:

R₁: = 15 R₃: = 30 L₂: = 0.2 a: = –50 b: = 3.333 c₁: = 0.667
d₁: = 0.0222 c₂: = –10 d₂: = 0.667. Время импульса t_и = 0.04 с. Будем исследовать переходной процесс в течение времени импульса плюс (3…4)τ.

– стартовое значение переменной состояния цепи i₂(0+);

– выражение ее первой производной;

– вычисление значений переменной со-

стояния в тысяче равноотстоящих точках (1000) интервала

времени [0,0.1] с;

– номера точек разбиения интервала времени про-

бегают значения от 0 до числа строк без 1 матрицы Z.

– элементам вектора t присваивают значения элементов пер-

вого столбца матрицы Z.

– элементам вектора i₂ присваивают значения элементов вто-

рого столбца матрицы Z.

Выражения искомых зависимых переменных цепи – тока резистора R₁ и напряжения резистора R₃ есть линейные функции переменной состояния цепи i₂(t) и задающего напряжения u_o и в протоколе Mathcad выглядят так:

,

.

Результаты численного решения этой задачи представлены графиками искомых функций рис. 17.3 и 17.4 и таблицей.

u_o(t_k)

50i_2k

t_k10³

Рис. 17.3

t_k10³

u_o(t_k)

30i_2k

Рис. 17.4

П роверка

1. График переменной состояния цепи t₂(t) при мс должен быть непрерывен:

,

.

1. Разрывы графиков зависимых переменных цепи i₁(t) и u₃(t) при и t₁ = 40 мс в нашем конкретном примере (скачки напряжения при t = 0 и при t = t₁ одинаковы) должны быть одинаковы и равны

,

.

Проверка показывает, что

,

.

Далее

,

.

Проверка показывает, что

,

.

1. При неограниченном возрастании времени t функции , и стремятся к нулю.

Программа домашней подготовки

к выполнению работы

1. По конспекту лекций и учебным пособиям изучить раздел «Метод переменных состояния».

2. Внимательно ознакомиться с примером решения аналогичной задачи.

3. Выполнить пп. 1 – 3 рабочего задания.

Контрольные вопросы

1. Напряжения и токи каких элементов цепи называются переменными ее состояния?

2. Какие уравнения называются уравнениями состояния цепи?

3. Чем определяется число уравнений, составленных по методу переменных состояния цепи?

4. В каких случаях система уравнений цепи, составленная по методу переменных состояния, наряду с дифференциальными уравнениями будет содержать и линейные алгебраические выражения?

5. Какова стандартная форма записи уравнений состояния цепи?

6. Чем определяется порядок сложности цепи?

7. Как вычислить значение постоянной времени цепи первого порядка по ее схеме?

8. Как вычислить значение постоянной времени цепи первого порядка по ее уравнению состояния?

ПРИЛОЖЕНИЕ

Рассмотрим алгоритм формирования «вручную» уравнений для вычисления переменных состояния цепи – уравнений ее состояния.

Считая известными мгновенные значения токов катушек и напряжений конденсаторов и опираясь на принцип компенсации^*, изобразим схему замещения заданной цепи для момента времени .

Рис. 17.5	Рис. 17.6

Например, для схемы цепи, показанной на рис. 17.5, в результате описанной замены получим схему замещения, как на рис. 17.6. Далее записываем полную систему уравнений для мгновенных значений токов или напряжений элементов схемы (по законам Кирхгофа).

В рассматриваемом случае искомые выражения выглядят следующим образом:

,

,

,

––––––––––––––––––––––––––

^* Любой элемент цепи с известным значением тока или напряжения может

быть эквивалентно заменен, соответственно, источником тока или напря-