Lektsia_7_Odnorodvyb_sredvelich (Лекции)

Лекция 7

Проверка однородности двух биномиальных выборок (Пр.стат разд 1.3.3)

(в лекции более кратко)

Проверка однородности – одна из базовых проблем прикладной статистики. В маркетинге это важно для сегментации рынка. Если две группы не отличаются по ответам, значит, их можно объединить в один сегмент и проводить по отношению к ним одну и ту же маркетинговую политику.

Обсуждаемая далее постановка задачи в терминах прикладной статистики такова. Рассматривается вопрос с двумя возможными ответами, например, "да" и "нет". В первой группе из n₁ опрошенных m₁ человек сказали "да", а во второй группе из n₂ опрошенных m₂ сказали "да". В вероятностной модели предполагается, что m₁ и m₂ - биномиальные случайные величины B(n₁ , p₁ ) и B(n₂ , p₂ ) соответственно. (Запись B(n , p) означает, что случайная величина m, имеющая биномиальное распределение B(n , p) с параметрами n - объем выборки и p - вероятность определенного ответа (скажем, ответа "да"), может быть представлена в виде m = X₁ + X₂ +…+X_n , где случайные величины X₁ , X₂ ,…,X_n независимы, одинаково распределены, принимают два значения1 и 0, причем Р(X_i = 1) = р, Р(X_i = 0)= 1-р, i=1,2,…,n.)

Однородность двух групп означает, что соответствующие им вероятности равны, неоднородность - что эти вероятности отличаются. В терминах прикладной математической статистики: необходимо проверить гипотезу однородности

H₀ : p₁ = p₂

при альтернативной гипотезе

H₁ : p₁ p₂ .

(Иногда представляют интерес односторонние альтернативные гипотезы и .)

Оценкой вероятности р₁ является частота р₁*=m₁/n₁, а оценкой вероятности р₂ является частота р₂*=m₂/n₂ . Даже при совпадении вероятностей р₁ и р₂ частоты, как правило, различаются. Как говорят, "по чисто случайным причинам". Рассмотрим случайную величину р₁* - р₂*. Тогда

M(р₁* - р₂*) = р₁ - р₂ , D(р₁* - р₂*) = р₁ (1 - р₁ )/ n₁ + р₂ (1-р₂ )/ n₂ .

Из теоремы Муавра-Лапласа и теоремы о наследовании сходимости (глава 1.4 и [4, п.2.4]) следует, что

где - функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Для практического применения этого соотношения следует заменить неизвестную статистику дисперсию разности частот на оценку этой дисперсии:

D*(р₁* - р₂*) = р*₁ (1 - р*₁ )/ n₁ + р*₂ (1-р*₂ )/ n₂ .

(Могут использоваться и другие оценки рассматриваемой дисперсии, например, по объединенной выборке). С помощью указанной выше математической техники можно показать, что

П
ри справедливости гипотезы однородности M(р₁* - р₂*) = 0. Поэтому правило принятия решения при проверке однородности двух выборок выглядит так:

1. Вычислить статистику

2. Сравнить значение модуля статистика |Q| с граничным значением K. Если |Q|<K, то принять гипотезу однородности H₀ . Если же |Q|>K, то заявить об отсутствии однородности и принять альтернативную гипотезу H₁ .

Граничное значение К определяется выбором уровня значимости статистического критерия проверки однородности. Из приведенных выше предельных соотношений следует, что при справедливости гипотезы однородности H₀ для уровня значимости имеем (при

Следовательно, граничное значение в зависимости от уровня значимости целесообразно выбирать из условия

Здесь - функция, обратная к функции стандартного нормального распределения. В социально-экономических исследованиях наиболее распространен 5% уровень значимости, т.е. Для него К = 1,96.

Пример.

n1=400 n2=300 p1*=200/400=0.5

x1=200 x2=180 p2*=180/300=0.6

Вычислим статистику

Поскольку |Q| = 2.649 > 1,96, то необходимо отклонить нулевую гипотезу и принять альтернативную. Таким образом, мужчины и женщины отличаются по рассматриваемому признаку - любви к пепси-коле.

Теория средних

Общее определение средней величины (типичное значение)

Наиболее распространенные виды средних.

Далее: