шпора, страница 4

Пример. . - полюс 1 порядка, z = 1 – полюс 2 порядка.

.

2.Доказать теорему об интегрировании изображения

Теорема об интегрировании изображения. Если - оригинал, то .

Доказательство. Обозначим . Тогда .

По теореме о дифференцировании изображения . Но . Поэтому = , так как .

Пример. .

17 билет.

1.Вычет в изолированной особой точке. Доказать теорему Коши о вычетах

Пусть функция - аналитическая в некоторой проколотой окрестности точки . Если существует комплексное число A, доопределяя которым функцию в самой точке, удается сделать функцию аналитической в окрестности точки (включая точку ), то точка называется правильной точкой функции . Если такого числа не существует, то точка называется изолированной особой точкой (однозначного характера).

Если - правильная точка функции , то .

Общая теорема о вычетах.

z1 1 z2 2  Пусть функция - аналитическая в области и на ее границе – кусочно-гладком контуре  за исключением конечного числа изолированных особых точек , лежащих внутри области . Тогда

Доказательство. По интегральной теореме Коши для многосвязной области . Вычислим интеграл . Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности точки и подставим в интеграл. По равномерной сходимости степенного ряда внутри круга сходимости, проведем почленное интегрирование и используем полученный ранее результат = .

= .

Тогда = .

2.Доказать теорему запаздывания

Теорема запаздывания.

Доказательство . Заметим, что =0 при , .

.

18 билет

1.Вывести необходимые условия дифференцируемости функции комплексного переменного.

Производная функции комплексной переменной вводится так же, как и для функции действительной переменной

.

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде

, то есть - бесконечно малая при . Главная линейная относительно часть приращения функции в точке , называется дифференциалом функции в точке , ( ).

Замечание. Функция двух переменных называется дифференцируемой в точке ( ), если ее приращение в этой точке можно представить в виде

+ + ,

где , - бесконечно малые при ,

, .

Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы существовала ее конечная производная в этой точке.

Доказательство. Проводится так же, как и для функции действительной переменной с использованием теоремы о связи функции, предела и бесконечно малой.

Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке , тогда

,

Делим обе части на

. Так как - бесконечно малая при , то по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой, .

Поэтому - формула для вычисления дифференциала.

Достаточность. Пусть в точке существует конечная производная функции . Тогда по теореме о связи функции, предела и бесконечно малой . Умножая на , получим . Следовательно, функция дифференцируема в точке .

Функция называется дифференцируемой в области, если она дифференцируема в каждой точке этой области.

2.Доказать теорему о дифференцировании изображения

Теорема о дифференцировании изображения. .

Доказательство. . Дифференцируем обе части по .

. Тогда .

Пример. Найти оригинал для изображения .

. Поэтому .

Пример. Найти изображение функции двумя способами.

1. . По теореме смещения .

2. . Дважды применим теорему о дифференцировании изображения: , .

19 билет.

1.Сформулировать теоремы о связи типа особой точки с видом лорановского разложения. И некоторые доказать.

Рядом Лорана называется ряд = + .

Второе слагаемое представляет собой степенной ряд и, как всякий степенной ряд, сходится в круге . Это слагаемое называется правильной частью ряда Лорана и является, как сумма степенного ряда аналитической функцией.

Первое слагаемое называется главной частью ряда Лорана. Делая в нем замену , запишем главную часть в виде . Относительно переменной t

это – степенной ряд, сходящийся в некотором круге . Возвращаясь к переменной z, получим, что главная часть сходится во внешности круга, радиуса r:

. Ряд Лорана сходится в области, представляющей собой пересечение областей сходимости правильной и главной частей. Поэтому область сходимости ряда Лорана представляет собой круговое кольцо . Радиусы сходимости r, R определяются для степенных рядов обычным образом, сходимость на границах кольца также исследуется, как в степенных рядах. Кольцо может быть вырождено, представлять собой окружность, если r = R или пустое множество, если r > R.

Теорема. Для того чтобы была правильной точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы функции была ограниченной в окрестности точки .

Доказательство. Необходимость. Если - правильная точка функции , то, доопределяя ее в точке , сделаем функцию аналитической, следовательно, и непрерывной, (тогда ). Непрерывная функция является ограниченной в некоторой окрестности точки .

Достаточность. Пусть функция - аналитическая в проколотой окрестности точки и ограничена в окрестности .

Так как функция аналитическая в круговом кольце , то по теореме Лорана ее можно разложить в этом кольце в сходящийся ряд Лорана . Справедливы неравенства Коши . Рассмотрим . . Следовательно, . Тогда ряд Лорана для функции превращается в ряд Тейлора . Доопределим функцию в точке .Тогда функция станет аналитической в окрестности как сумма степенного ряда. Поэтому точка - правильная точка функции .

Следствие. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности правильной точки представляет собой ряд Тейлора и не содержит членов с отрицательными степенями.

Теорема. Для того чтобы точка была полюсом n-го порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы ее разложение в ряд Лорана по степеням не содержало степеней ниже (-n) и содержало слагаемое .

Доказательство. Необходимость. Если точка - полюс n-го порядка функции , то . Разложим аналитическую функцию в ряд Тейлора по степеням и подставим разложение. . .

Достаточность. Пусть . Тогда

, где - аналитическая в точке функция (как сумма степенного ряда). Поэтому - полюс n-го порядка функции .

Теорема. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности существенно особой точки конечной плоскости содержит бесконечное количество отрицательных степеней .

Доказательство. Если разложение в ряд Лорана в окрестности особой точки конечной плоскости не содержит отрицательных степеней, то точка - правильная (доказанная выше теорема) - противоречие. Если разложение в ряд Лорана содержит конечное число отрицательных степеней, то точка - полюс (.доказанная выше теорема) - противоречие. Остается только вариант наличия в разложении бесконечного числа слагаемых с отрицательными степенями.

Классификация особой точки (конечной плоскости) функции по ее разложению в ряд Лорана в окрестности этой точки.

Если разложение функции в ряд Лорана в окрестности (по степеням ):

1. Не содержит отрицательных степеней, то - правильная точка .

2. Содержит конечное число отрицательных степеней, то - полюс , причем наинизшая отрицательная степень определяет порядок полюса.

3. Содержит бесконечное количество членов с отрицательными степенями, то - существенно особая точка .

Это следует из доказанных выше теорем.

Классификация бесконечно удаленной особой точки функции по ее разложению в ряд Лорана в окрестности этой точки.

Разложение в ряд Лорана в окрестности точки , т.е. в области представляет собой ряд Лорана по степеням z: , в котором главная часть, определяющая особенности функции, содержит положительные степени, а правильная часть – отрицательные степени.

Если разложение в ряд Лорана в окрестности точки , т.е. в области :

1. Не содержит положительных степеней, то - правильная точка .

2. Содержит конечное число положительных степеней, то - полюс , причем наивысшая положительная степень определяет порядок полюса.

3. Содержит бесконечное количество членов с положительными степенями, то - существенно особая точка .

Примеры.

1. . Это и есть разложение в ряд Лорана в окрестности точки , т.е. в области , поэтому - полюс второго порядка.

2. . Разложение по степеням : справедливо в области , т.е. в окрестности точки . Оно содержит бесконечное количество членов с положительными степенями, поэтому - существенно особая точка .

3. . Запишем разложение в окрестности точки , т.е. в области .

. Разложение не содержит положительных степеней , поэтому точка - правильная, точнее, нуль первого порядка.

4. . Запишем разложение по степеням в окрестности точки .