шпора
Описание файла
Документ из архива "Шпора", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория функций комплексного переменного (тфкп)" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "шпора"
Текст из документа "шпора"
1 билет
1. Доказать интегральную формулу Коши
Интегральная формула Коши
|
| Пусть функция |
Доказательство. По интегральной теореме Коши для многосвязной области
=
, где 
- окружность с центром в точке 
, радиусом 
, 
. Радиус окружности выбран достаточно малым, чтобы окружность целиком лежала в области D. Так как 
(важный пример в предыдущей лекции), то 
. Оценим |
| =
= |
| 
(на окружности , 
, так как 
. По непрерывности функции 
).
. В силу произвольности 
| | = 0. Следовательно, 
.
2. Доказать теорему о дифференцировании оригинала
Теорема о дифференцировании оригинала.
Пусть 
- оригинал. Тогда 
.
Доказательство. 
, так как 
.
Следствие. Если 
- оригинал, то 
.
Доказательство. 
…
.
2 билет.
1. Доказать теорему о производной аналитической функции
Теорема. Аналитическая функция является бесконечно дифференцируемой в области аналитичности.
Доказательство. Можно показать, что интеграл в интегральной формуле Коши можно дифференцировать по z0, как по параметру. Проводя это дифференцирование нужное число раз, получим формулу для n – ой производной аналитической функции.
, 
, 
….
. Это - формула для n – ой производной аналитической функции.
С помощью полученных формул (деля обе части на коэффициент перед интегралом) можно вычислять интегралы вида
, 
.
Примеры. 1. 
(по интегральной формуле Коши)
2.
(по формуле для первой производной)
3. Вычислить
. Аналитичность функции нарушается в точках z=0, z=1. Рассмотрим два контура: 
– окружности с центрами в точках z=0, z=1, радиусами r=1/4. 
. По интегральной теореме Коши для многосвязной области = 
+
= 
=
=
.
2. Доказать теорему об интегрировании оригинала
Теорема об интегрировании оригинала. 
.
Доказательство. Обозначим 
. Это – оригинал (проверьте требования к оригиналу). 
. Обозначим 
. По теореме о дифференцировании оригинала 
. Так как , то 
.
Следовательно, .
Пример. 
.
.
3 билет.
1.Вычет аналитической функции в изолированной особой точке. Вычет в бесконечно удаленной точке. Доказать теорему о сумме вычетов. В том случае, когда точка 
- существенно особая точка, вычет в ней вычисляется единственным способом – непосредственным разложением функции в ряд Лорана и вычислением коэффициента при –1 степени.
Пример. 
Здесь 
- существенно особая точка. Разложение в ряд Лорана в окрестности :
.
Вычетом функции в бесконечно удаленной точке 
называется коэффициент 
, (взятый со знаком минус коэффициент при –1 ой степени в разложении в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки).
Общая теорема о вычетах.
|
z1 1 z2 2 Пусть функция - аналитическая в области  и на ее границе – кусочно-гладком контуре за исключением конечного числа изолированных особых точек  , лежащих внутри области . Тогда |
Доказательство. По интегральной теореме Коши для многосвязной области 
. Вычислим интеграл 
. Разложим функцию 
в ряд Лорана в окрестности точки 
и подставим в интеграл. По равномерной сходимости степенного ряда внутри круга сходимости, проведем почленное интегрирование и используем полученный ранее результат 
=
.
=
.
Тогда =
.
Теорема. Сумма вычетов функции по всей расширенной плоскости равна нулю.
Доказательство. Выберем контур 
так, чтобы все особые точки функции лежали внутри контура. Тогда при обходе контура в положительном направлении надо учитывать
особые точки, попавшие внутрь контура, т.е. все особые точки конечной плоскости. По общей теореме о вычетах 
. С другой стороны, при обходе контура в отрицательном направлении мы должны учитывать только бесконечно удаленную точку и интеграл получится тем же, но со знаком «минус» (свойство интеграла). Поэтому - 
. Складывая эти интегралы, получим
.
Следствие. Сумма вычетов функции по всей конечной плоскости равна вычету функции в бесконечно удаленной точке, взятому со знаком «минус».
Доказательство. По предыдущей теореме . Отсюда 
.
2. Доказать теорему об интегрировании оригинала
Теорема об интегрировании оригинала. .
Доказательство. Обозначим . Это – оригинал (проверьте требования к оригиналу). . Обозначим . По теореме о дифференцировании оригинала . Так как , то .
Следовательно, .
Пример. .
.
4 билет.
1. Вывести интегральную формулу Коши
Интегральная формула Коши.
Интегральная формула Коши
|
| Пусть функция |
Доказательство. По интегральной теореме Коши для многосвязной области
= , где - окружность с центром в точке , радиусом , . Радиус окружности выбран достаточно малым, чтобы окружность целиком лежала в области D. Так как (важный пример в предыдущей лекции), то . Оценим | | =
= | |
(на окружности , , так как . По непрерывности функции ).
. В силу произвольности | | = 0. Следовательно, .
2. Доказать теорему об интегрировании оригинала
Теорема об интегрировании оригинала. .
Доказательство. Обозначим . Это – оригинал (проверьте требования к оригиналу). . Обозначим . По теореме о дифференцировании оригинала . Так как , то .
Следовательно, .
Пример. .
.
5 билет.
1. Доказать теорему Абеля для степенных рядов (в комплексной плоскости)
Теорема Абеля. Если степенной ряд 
сходится в точке 
, то он абсолютно сходится в круге 
. Если степенной ряд расходится в точке , то он расходится во внешности круга 
.
Доказательство (аналогично случаю действительной переменной).
-
Пусть ряд сходится в точке
![]()
и ![]()
.
Так как ряд сходится в точке , то по необходимому признаку сходимости ряда 
.
Тогда 
.
Исследуем степенной ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд из модулей членов ряда. 
Оценим общий член ряда из модулей.
.
Ряд из модулей исходного ряда сходится по первому признаку сравнения числовых рядов (ряд сравнения – сходящаяся бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 
). Следовательно, исходный ряд в области сходится абсолютно.
Замечание. Казалось бы, что из признака Вейерштрасса в области следует равномерная сходимость исходного ряда, но здесь 
, а в признаке Вейерштрасса требуется указать один мажорирующий ряд для всех точек 
рассматриваемой области, то есть 
не должно зависеть от . Поэтому равномерную сходимость ряда в области утверждать нельзя. Однако если взять 
(
не зависит от ), то в области 
степенной ряд будет сходиться равномерно по признаку Вейерштрасса.
-
Пусть ряд расходится в точке
![]()
и ![]()
.
Если ряд сходится в точке , то по доказанному в пункте 1), он должен абсолютно сходиться в точке 
, следовательно, сходиться в точке . Это противоречит тому, что исходный ряд расходится в точке , следовательно исходный ряд расходится в области .
2. Вывести формулу для изображения периодического оригинала
Изображение периодической функции.
Пусть функция 
- периодическая с периодом Т. Обозначим 
.
Вычислим 
=
. Представим функцию в виде
и применим теорему запаздывания 
.
Примеры.
-
Найти оригинал по изображению
![]()
.
. По теореме запаздывания 
.
2) Найти изображение периодической функции с периодом Т. 
, 
6 билет.
1. Доказать теорему Абеля для степенных рядов (в комплексной плоскости)
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то он абсолютно сходится в круге . Если степенной ряд расходится в точке , то он расходится во внешности круга .
Доказательство (аналогично случаю действительной переменной).
-
Пусть ряд сходится в точке
![]()
и ![]()
.
Так как ряд сходится в точке , то по необходимому признаку сходимости ряда .
Тогда .
Исследуем степенной ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд из модулей членов ряда. Оценим общий член ряда из модулей.
.
Ряд из модулей исходного ряда сходится по первому признаку сравнения числовых рядов (ряд сравнения – сходящаяся бесконечно убывающая геометрическая прогрессия ). Следовательно, исходный ряд в области сходится абсолютно.
Замечание. Казалось бы, что из признака Вейерштрасса в области следует равномерная сходимость исходного ряда, но здесь , а в признаке Вейерштрасса требуется указать один мажорирующий ряд для всех точек рассматриваемой области, то есть не должно зависеть от . Поэтому равномерную сходимость ряда в области утверждать нельзя. Однако если взять ( не зависит от ), то в области степенной ряд будет сходиться равномерно по признаку Вейерштрасса.
-
Пусть ряд расходится в точке
![]()
и ![]()
.
Если ряд сходится в точке , то по доказанному в пункте 1), он должен абсолютно сходиться в точке , следовательно, сходиться в точке . Это противоречит тому, что исходный ряд расходится в точке , следовательно исходный ряд расходится в области .
2. Доказать теорему об интегрировании оригинала
