шпора, страница 2
Описание файла
Документ из архива "Шпора", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория функций комплексного переменного (тфкп)" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "шпора"
Текст 2 страницы из документа "шпора"
Теорема об интегрировании оригинала. 
.
Доказательство. Обозначим 
. Это – оригинал (проверьте требования к оригиналу). 
. Обозначим 
. По теореме о дифференцировании оригинала 
. Так как , то 
.
Следовательно, .
Пример. 
.
.
7 билет.
1. Достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного (сформулировать и доказать)
Производная функции комплексной переменной вводится так же, как и для функции действительной переменной
.
Функция 
называется дифференцируемой в точке 
, если ее приращение в этой точке можно представить в виде
, то есть 
- бесконечно малая при 
. Главная линейная относительно 
часть приращения функции в точке , 
называется дифференциалом функции в точке , (
).
Замечание. Функция двух переменных 
называется дифференцируемой в точке (
), если ее приращение в этой точке можно представить в виде
+
+
,
где 
, 
- бесконечно малые при 
,
, 
.
Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы существовала ее конечная производная в этой точке.
Доказательство. Проводится так же, как и для функции действительной переменной с использованием теоремы о связи функции, предела и бесконечно малой.
Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке , тогда
,
Делим обе части на
. Так как - бесконечно малая при , то по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой, 
.
Поэтому 
- формула для вычисления дифференциала.
Достаточность. Пусть в точке существует конечная производная функции 
. Тогда по теореме о связи функции, предела и бесконечно малой 
. Умножая на , получим 
. Следовательно, функция дифференцируема в точке .
Функция называется дифференцируемой в области, если она дифференцируема в каждой точке этой области.
2. Доказать теорему о свертке оригиналов
Теорема о свертке (теорема о произведении изображений). 
.
Доказательство.
|
= = |
Пример. Найти оригинал, соответствующий изображению 
.
8 билет.
1. Доказать основную теорему Коши для односвязной области
Интегральная теорема Коши (для односвязной области).
Пусть G – односвязная область, пусть функция f(z) – аналитическая в G функция, пусть L – кусочно—гладкий контур, принадлежащий области G. Тогда 
.
Теорему можно сформулировать и так: интеграл от аналитической функции вдоль кусочно-гладкого контура равен нулю.
Доказательство.
|
| Обозначим D – внутренность контура L . Запишем формулу Грина |
Применим к каждому слагаемому в правой части равенства формулу Грина. В первом интеграле примем P = u, Q = -v.
(для аналитической функции выполнены условия Коши – Римана 
).
Во втором интеграле примем P = v, Q = u.
(условие Коши – Римана).
Поэтому .
Следствие. Пусть L1, L2 – две кусочно-гладких дуги в односвязной области G, соединяющие точки A, B. Пусть функция f(z) – аналитическая в области G. Тогда 
= 
.
Можно дать словесную формулировку: интеграл от аналитической функции в односвязной области вдоль кусочно-гладкой дуги не зависит от формы дуги, а зависит только от начальной и конечной точек дуги.
Доказательство. Образуем контур 
. По интегральной теореме Коши
. Но 
. Следовательно, .= .
Поэтому результат в рассмотренном выше примере не случаен.
Очень важный пример. Вычислить интеграл 
, где n – целое число, контур 
- окружность с центром в точке радиусом 
.
Покажем, что точки z на контуре можно описать уравнением 
, 
, 
- действительное число. В самом деле, 
, так как 
. Таким образом, контур - это геометрическое место точек комплексной плоскости, расположенных на расстоянии от точки - окружность с центром в точке радиусом .
Если 
, то подынтегральная функция – аналитическая внутри контура . Тогда по интегральной теореме Коши = 0.
Пусть 
. Так как точка z лежит на контуре , то , 
. Перейдем к переменной 
. Пусть 
.
= 
по периодичности экспоненты.
Пусть 
. Тогда
=
.
Вывод. =
.
2. Доказать теорему смещения
Теорема смещения. 
.
Доказательство. 
Здесь 
по теореме об области определения изображения.
Примеры. 
Заданы изображения найти оригиналы 
.
.
.
9 билет.
1. Вывести необходимые условия дифференцируемости функции комплексного переменного
Производная функции комплексной переменной вводится так же, как и для функции действительной переменной
.
Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде
, то есть - бесконечно малая при . Главная линейная относительно часть приращения функции в точке , называется дифференциалом функции в точке , ( ).
Замечание. Функция двух переменных называется дифференцируемой в точке ( ), если ее приращение в этой точке можно представить в виде
+ + ,
где , - бесконечно малые при ,
, .
Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы существовала ее конечная производная в этой точке.
Доказательство. Проводится так же, как и для функции действительной переменной с использованием теоремы о связи функции, предела и бесконечно малой.
Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке , тогда
,
Делим обе части на
. Так как - бесконечно малая при , то по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой, .
Поэтому - формула для вычисления дифференциала.
Достаточность. Пусть в точке существует конечная производная функции . Тогда по теореме о связи функции, предела и бесконечно малой . Умножая на , получим . Следовательно, функция дифференцируема в точке .
Функция называется дифференцируемой в области, если она дифференцируема в каждой точке этой области.
2. Доказать свойства свертки оригиналов
Сверткой 
двух функций называется интеграл =
.
Свойства свертки.
-
Коммутативность.
![]()
-
Ассоциативность.
(доказательство громоздко, см. его в учебнике т.Х1).
-
![]()
- оригинал, если ![]()
- оригиналы.
Самостоятельно проверьте первые два требования к оригиналу. Проверим третье требование.
Пусть 
. Обозначим 
.
а) 
< 
б) 
.
.
10 билет.
1. Геометрический смысл производной аналитической функции
Рассмотрим комплекснозначную дифференцируемую в точке t и некоторой ее окрестности функцию действительной переменной z(t).
|
| Рассмотрим точку z , дадим приращение z, = arg z. Тогда При угол наклона касательной к графику в точке
|
Наличие ненулевой производной 
означает наличие касательной к графику функции с углом наклона к действительной оси, равным 
.
Рассмотрим теперь комплекснозначную аналитическую функцию комплексной переменной . Пусть 
, где 
- действительное число. Тогда 
- комплекснозначная функция действительной переменной z(t), дифференцируемая в точке t и некоторой ее окрестности.
Касательная к графику функции, по рассмотренному выше, имеет угол наклона к действительной оси равный 
.
По теореме о сложной функции 
, поэтому
. Следовательно, 
- аргумент производной аналитической функции . имеет смысл угла поворота касательной к кривой в точке 
при ее отображении посредством функции .
Так как 
, 
, то 
- модуль производной аналитической функции имеет смысл коэффициента растяжения при отображении посредством функции . Все это справедливо в тех точках, в которых производная отлична от нуля.
Если две кривые отображаются посредством аналитической функции 
, то угол наклона касательной к каждой кривой изменяется в точке z на один и тот же угол , поэтому углы между кривыми сохраняются при отображении посредством аналитической функции (в тех точках, в которых ее производная отлична от нуля).
Отображение, сохраняющее углы между кривыми, называется конформным. Поэтому отображение посредством аналитической функции (в тех точках, в которых ее производная отлична от нуля) является конформным.
Пример. Линейное отображение 
(
), как было показано выше, сводится к повороту на угол 
и растяжению в 
раз.
2. Доказать теорему о дифференцировании оригинала
