шпора, страница 6
Описание файла
Документ из архива "Шпора", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория функций комплексного переменного (тфкп)" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "шпора"
Текст 6 страницы из документа "шпора"
по периодичности экспоненты.
2. Доказать теорему об интегрировании изображения
Теорема об интегрировании изображения. Если - оригинал, то .
Доказательство. Обозначим . Тогда .
По теореме о дифференцировании изображения . Но . Поэтому = , так как .
22 билет
1.Доказать основную теорему Коши для многосвязной области
Интегральная теорема Коши для многосвязной области.
Пусть кусочно-гладкие контуры лежат внутри контура и вне друг друга. Пусть - аналитическая функция в области между контурами и на самих этих контурах. Тогда .
D m A K B E p q r s n | Соединим контуры линиями AB, CD, EK. По интегральной теореме Коши интегралы по контуру AbpCDqEKmA и по контуру AnKEsDCrBA равны нулю. Представим эти интегралы как сумму интегралов по составляющим контуры дугам и сложим эти интегралы, сокращая интегралы по одним и тем же дугам в разных направлениях |
Складывая интегралы, получим
. Теорема доказана для случая n = 2. Для n > 2 доказательство аналогично.
Следствие 1. В условиях теоремы при n = 1 будет . Поэтому, если в какой-либо точке нарушается аналитичность функции, то интеграл может быть взят по любому кусочно-гладкому не самопересекающемуся контуру, охватывающему эту точку, мы получим один и тот же результат.
Следствие 2. Если кусочно-гладкий контур один раз охватывает некоторую точку, .а контур L n раз охватывает эту точку, то в условиях теоремы . Докажите это самостоятельно.
2.Доказать теорему о свертке оригиналов
Теорема о свертке (теорема о произведении изображений). .
Доказательство.
Пример. Найти оригинал, соответствующий изображению
23 билет
1.Вывести формулу для вычисления вычета в полюсе
Если z0 – правильная особая точка, то ряд Лорана превращается в ряд Тейлора, в котором нет отрицательных степеней , поэтому =0.
Если z0 – полюс первого порядка, то разложение в ряд Лорана в окрестности этой точки не содержит степеней , ниже, чем –1 и содержит степень -1. Разложение выглядит так.
Перейдем к пределу при , чтобы обратились в нуль все слагаемые в правой части, содержащие целые степени .
- формула для вычета функции в полюсе первого порядка.
В том случае, когда z0 – полюс первого порядка функции вида
, можно получить удобную в вычислениях формулу для вычета.
= - формула для вычета функции в полюсе первого порядка. Здесь использованы условия .
Пример. Найти вычеты функции во всех особых точках конечной плоскости.
У функции два полюса первого порядка .
По первой формуле
Применим вторую формулу
В том случае, когда z0 – полюс n-го порядка, то разложение в ряд Лорана в окрестности этой точки не содержит степеней , ниже, чем –n и содержит степень –n . Разложение выглядит так.
Уничтожим степень при коэффициенте дифференцированием, его надо провести раз. Получим
Перейдем к пределу при . Все слагаемые в правой части, содержащие целые степени (второе, третье, четвертое и т.д.) обратятся в нуль. Отсюда имеем формулу для вычета функции в полюсе n – ого порядка:
Пример. . - полюс 1 порядка, z = 1 – полюс 2 порядка.
2.Доказать свойства свертки интегралов
Сверткой двух функций называется интеграл = .
Свойства свертки.
-
Ассоциативность.
(доказательство громоздко, см. его в учебнике т.Х1).
Самостоятельно проверьте первые два требования к оригиналу. Проверим третье требование.
24 билет
1.Основная теорема о вычетах и ее следствия
Общая теорема о вычетах.
z1 1 z2 2 Пусть функция - аналитическая в области и на ее границе – кусочно-гладком контуре за исключением конечного числа изолированных особых точек , лежащих внутри области . |
Доказательство. По интегральной теореме Коши для многосвязной области . Вычислим интеграл . Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности точки и подставим в интеграл. По равномерной сходимости степенного ряда внутри круга сходимости, проведем почленное интегрирование и используем полученный ранее результат = .
2.Вывести формулу для нахождения изображения периодического оригинала.
Изображение периодической функции.
Пусть функция - периодическая с периодом Т. Обозначим .
Вычислим = . Представим функцию в виде
и применим теорему запаздывания .
Примеры.