Лекции в ворде, страница 8

§6. Обобщённые функции

Рассмотрим ось и будем полагать, что в точке находится масса равная 1. Вычислим линейную плотность некоторого отрезка, лежащего на оси . Линейная плотность выражается, как предел: , где – масса сегмента длины . Пусть линейная плотность обозначается , тогда если , если . Итак: . Функция описывает линейную плотность. Попробуем из плотности получить массу, тогда: . В точности, условие нормировки:

Но интегрируема ли эта функция? «Размажем» единичную массу по отрезку , тогда: при поточечный предел : . Поточечный предел функции по сегменту равен 1.

Другой подход: Пусть – произвольная непрерывная функция, заданная на всей числовой прямой. Докажем, что

Т.е. нужно доказать, что .

Док-во: ; – непрерывна в точке , ч.т.д.

Обозначение: . Тогда формула (1) принимает вид: .

В частности: , тем самым выполняется (1).

Определение: Обобщённая -функция ( -функция Дирака) – это такая функция, что для любой непрерывной функции : .

Таким образом -функция ставит в соответствие любой непрерывной функции её значение . Если каждой функции из некоторого множества поставить в соответствие некоторое число, то говорят, что на данном множестве задан функционал. Введённая -функция представляет собой функционал, заданный на множестве непрерывных функций. Будем рассматривать функции , заданные на всей числовой прямой от до , обладающими следующими свойствами: 1) – бесконечно дифференцируемая функция, 2) – финитная функция, т.е. равна 0 вне некоторого интервала (для любой функции свой интервал).

Пусть – множество, на котором указанные функции не равны нулю. – замкнутые множества , т.е. все предельные точки, D – множество основных функций.

Определение: Множество финитных бесконечно дифференцируемых функций назовём множеством основных функций и обозначим их как D.

Определение: Будем говорить, что последовательность основных функций сходится к функции из множества , если:

1.

2. , где – натуральное на .

Обозначение: при в D.

Множество D основных функций с введённой в нём сходимостью называется пространством основных функций, которое также обозначается буквой D.

Определение: Говорят, что на пространстве D задан функционал, если каждой функции поставлено в соответствие некоторое число .

Определение: Функционал называется линейным, если .

Определение: Функционал f, определённый на пространстве D основных функций, называется непрерывным, если для любой последовательности имеем: .

Определение: Обобщённой функцией называется всякий линейный непрерывный функционал, определённый на пространстве основных функций.

Определим сумму двух обобщённых функций и , как обобщённую функцию, действующую по формуле: , а произведение обобщённой функции на число , как обобщённую функцию действующую по формулу: . Нетрудно доказать, что и - линейные непрерывные функционалы, т.е. операции сложения и умножения на число не выводят за пределы множества непрерывных функций. Понятие сходимости в множестве обобщённых функций определим следующим образом.

Определение: Будем говорить, последовательность обобщённых функций сходится к обобщённой функции , если числовая последовательность при .

Линейное пространство обобщённых функций с введённой в нём сходимостью обозначается называется пространством обобщённых функций. Введённое понятие сходимости называется «слабой сходимостью». Говорят также, что последовательность функционалов слабо сходится к функционалу .

Регулярные и сингулярные обобщённые функции

Пусть функция локально интегрируемая функция.

Примеры: – локально интегрируемые, хотя и не интегрируемые на . Каждой локально интегрируемой функции соответствует обобщённая функция (т.е. функционал) , определённый равенством: . Такие обобщённые функции называются регулярными.

Примеры: – функция Хевисайда.

Функция порождает регулярную обобщённую функцию : .Обобщённые функции, не являющиеся регулярными, называются сингулярными.

Пример: -функция. Она определяется в соответствие с равенством (4) из начала лекции: . Докажем, что -функция является сингулярной обобщённой функцией. Допустим противное, тогда существует локально интегрируемая функция такая, что: . Возьмём в качестве «шапочку» . Очевидно, что По нашему предположению:

С другой стороны, т.к. локально интегрируема, то она ограничено на любом отрезке, и, следовательно, при , что противоречит (5). Итак, -функция является сингулярной обобщённой функцией. Покажем, что -функцию сингулярную обобщённую функцию можно представить как предел в регулярных обобщённых функций. Введём функционал , где - «шапочка», - такое число, что Т.к. , то . Поэтому . Регулярную обобщённую функцию, соответствующую , обозначим . Докажем теперь, что -функции при в смысле сходимости в . Для этого нужно доказать, что такие, что при Т.к. непрерывная функция, то такое, что при Следовательно, при имеем: . Это означает, что при , т.е. -функции при в . Обратим внимание на поточечный предел: – это не есть классическая функция. -функцию можно представить как предел многих других последовательностей регулярных обобщённых функций. Пусть (ядро Дирихле порядка ) и пусть . Так же, как и при доказательстве теоремы о поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье, нетрудно доказать, что при . В самом деле, т.к. , то при . Это означает, что при в Оказывается, что любую сингулярную обобщённую функцию можно представить как предел последовательности регулярных обобщённых функций иначе говоря пространство обобщённых функций является пополнением пространства классических локально интегрируемых функций, т.е. получается путём добавления к пространству классических локально интегрируемых функций всех предельных элементов в смысле слабой сходимости.

(Аналогия: Множество всех вещественных чисел получается из множества рациональных чисел путём добавления всех пределов последовательностей рациональных чисел. Любое иррациональное число можно получить как предел последовательности рациональных чисел, поэтому все иррациональные числа окажутся добавленными по множеству рациональных чисел, т.е. множество всех вещественных чисел есть пополненные множества рациональных чисел.)