Глава 1. Поверхностные интегралы

§1. Площадь поверхности

Площадь поверхности, заданной явным образом.

z = f(x,y), где функция f(x,y) определена в замкнутой ограниченной области G, при этом функция f(x,y) имеет в области G непрерывные частные производные второго порядка. Произведем разбиение поверхности P кусочно-гладкими линиями. Фрагменты разбиения на поверхности обозначим, как P_i, Проведем через точку M_i касательную плоскость к поверхности P_i. При этом ту часть плоскости, которая проецируется на G_i обозначим S_i.И такую процедуру проведем для всех фрагментов P_i.Тем самым рассматриваемая поверхность окажется покрытой фрагментами касательных плоскостей. Полученная конструкция (скорее всего) не является многогранником в привычном смысле. Введем сумму

Пусть d_i максимальный диаметр P_i, а d – максимальный диаметр по всем фрагментам разбиения.

Определение: Число S называется пределом при сумм вида 1, если для любого существует такое, что для любого разбиения P_i , такого, что :

Если существует такой предел, то поверхность Р называется квадрируемой, а число S – площадью этой поверхности.

Теорема 1: Пусть функция определена в замкнутой ограниченной области G, в которой она имеет непрерывные частные производные первого порядка, тогда фигура задаваемая данной функцией является квадрируемой, и ее площадь вычисляется по следующей формуле:

Док-во: Рассмотрим некоторый фрагмент разбиения P_i, на котором произвольный образом выберем точку M_i. Замкнем уравнение касательной к плоскости к функции

Вектор нормали в точке M_i . Пусть – угол между нормалью и осью Oz. Вычислим

Пусть – площадь области в плоскости Oxy, на которую проецируется поверхность P_i, тогда справедливо . Таким образом, получаем, что площадь S_i будет равна

Рассмотрим сумму

Правая часть выражения (3) при представляет собой интегральную сумму (для случая двойного интеграла) для функции , заданной на области G. В условиях указанной теоремы предел указанной суммы существует, а следовательно существует следующий предел:

, ч.т.д.

Замечание: Поверхности также могут задаваться и неявным образом. Но основной способ задания поверхностей (в смысле общности) – это параметрический способ задания поверхностей.

Площадь поверхности, заданной параметрически.

Параметрическое задание поверхности определяется следующими формулами:

Фиксировав параметр v и изменяя параметр u, радиус-вектор опишет на нашей поверхности некоторую линию. Таким образом, фиксируя разные значения, соответствующие параметрам u и v, получим криволинейную систему координат на поверхности. (Рассматриваемая поверхность является двумерной) Вычислим производные вектора r:

;

;

Плоскость, проходящая через данную точку M и содержащая вектора r_u и r_v, является касательной к данной поверхности. Поэтому вектор нормали

Суммируя по всем элементарным сегментам разбиения, получаем следующую формулу для вычисления площади поверхности D.

Рассмотрим модуль векторного произведения:

Откуда

Замечание (О вычислении длины на криволинейной поверхности):

Рассмотрим поверхность, а на ней достаточно близкие точки. Поставим перед собой вопрос о вычислении кратчайшей линии, которая соединяет две точки и . В том случае, когда точки M и N бесконечно близки, расстояние dl вычисляется как длина вектора dl:

На самом деле в дифференциальной геометрии квадрат элемента длины определяется следующей формулой (через E, F и G):

называется первой квадратичной формой поверхности, или метрикой поверхности. По первой квадратичной форме формулы (3) на поверхности измеряются линии, углы между линиями. Первая квадратичная форма определяет внутреннюю геометрию поверхности, которая определяет форму поверхности в пространстве. Чтобы поверхность была однозначно заданной необходимо

§2. Поверхностные интегралы первого рода

Рассмотрим квадрируемую поверхность P. Рассмотрим разбиение этой поверхности P на квадрируемые части. Пусть на P задана непрерывная функция , . Составим интегральную сумму

Пусть .

Определение: Число I называется пределом интегральных сумм при , если для любого существует , такая, что для любого разбиения, для которого , и для любого выбора точек выполняется

Обозначается: .

Если такой предел существует, то он называется поверхностным интегралом первого рода, и имеют место следующие обозначения

или

Замечание: Поверхностный интеграл является обобщением двойного интеграла на тот случай, когда областью задания подынтегральной функции является криволинейная поверхность. Если , то соответствующее вычисление двойного интеграла дает нам площадь данной поверхности.

Теорема 1: Пусть поверхность P задана явным образом в замкнутой ограниченной области G. Пусть функция имеет в области непрерывные частные производные первого порядка. Эти требования необходимы для того, чтобы поверхность была гладкой. Пусть на поверхности P задана непрерывная функция f(M).Тогда поверхностный интеграл от функции f(x,y,z)вычисляются следующим образом:

Док-во: Рассмотрим разбиение поверхности и составим интегральную сумму

Указанная интегральная сумма соответствует поверхностному интегралу, находящемуся в левой части формулы (4). Рассмотрим интеграл из правой части формулы (4):

Воспользуемся формулой среднего значения:

Полученная сумма соответствует правой части формулы (4). Рассмотрим разность

Таким образом, при указанном разбиении предельные значения левых и правых частей совпадают.

В том случае, когда поверхность задана параметрически, поверхностный интеграл вычисляется по формуле

§3. Ориентация поверхности.

Определение: Будем называть поверхность Ф двусторонней, если на ней можно задать непрерывное поле нормалей, иначе поверхность называется односторонней.

Пусть Ф – простая, гладкая, ориентированная поверхность, пусть задана ориентация , – кусочно-гладкая кривая с направлением обхода t, оно положительно если стоя на поверхности головой в направлении нормали, мы оставляем область слева. Пусть Ф простая, кусочно-гладкая поверхность, разобьем Ф на гладкие простые поверхности так, чтобы разбиение состояло из треугольников. На Ф выберем ориентированную совокупность, которая задает поле нормалей .Ориентации двух соседних треугольников согласованы, если на общей границе направления обходов противоположны. Ф – ориентированная поверхность.

Определение: Ф – ориентированная поверхность, если для любой триангуляции можно указать такие ориентации треугольников, что у любых двух треугольников, имеющих общую сторону ориентации согласованы.

§4. Поверхностный интеграл второго рода.

Предположим, что задана полная, кусочно-гладкая, ориентированная поверхность. Создадим для поверхности Ф поле нормалей . Пусть на поверхности Ф заданы функции P(M), Q(M), R(M). Разобьем Ф на N полных квадрируемых поверхностей . Выберем , . Составим интегральную сумму:

Определение: Будем говорить, что I – это предел интегральной суммы при , если можно указать такое :

Если I является пределом интегральных сумм, то говорят, что I – поверхностный интеграл второго рода векторного поля поверхности Ф.

Рассматривают также частные интегралы второго рода:

Пусть G – регулярное, замкнутое, ограниченное и квадрируемое множество на плоскости. Предположим, что на множестве G задана вектор-функция , такая, что она задает гладкую поверхность Ф.

Теорема: Если функции P, Q и R непрерывны на поверхности Ф; , то существует интеграл второго рода I, причем выполняется равенство:

Док-во:

, ч.т.д.

Рассмотрим явно заданную поверхность . Радиус-вектор такой поверхности и его производные:

§5. Формула Остроградского-Гаусса.

Определение: Будем говорим, что Ф – замкнутая поверхность, если Ф – полная ограниченная поверхность без границ.

Определение: Дивергенцией векторного поля называется скаляр, который в декартовых координатах имеет вид:

Теорема (Остроградского-Гаусса): Пусть – регулярное, замкнутое, ограниченное, кубируемое множество. Пусть граница этого множества состоит из конечного числа замкнутых, кусочно-гладких ориентированных поверхностей; и будем считать, что на границе выбрана единичная нормаль , внешняя по отношению к области D.

Если все три этих условия выполнены, то справедливо следующее равенство: