Лекции в ворде, страница 6

1. – непрерывная функция;

2. ; причем сходится равномерно по ;

3. , причем

Док-во: Согласно теореме 2.9: .

Согласно теореме 1.2: , .

Нужно доказать: .

.

Используем теорему 1.3 (об интегрировании собственного интеграла):

.

;

Фиксируем : сходится равномерно по t на

.

Фиксируем , получим

, ч.т.д.

Теорема 2.11: Пусть и пусть существует при . Пусть . Пусть : сходится. Пусть сходится равномерно на к .

Тогда:

1. сходится равномерно по y на сегменте к некоторой функции , а также .

2. .

Док-во: В силу теоремы 2.9 о непрерывной зависимости интеграла, зависящего от параметра можно записать:

Согласно теореме 2.10 во втором интеграле мы можем поменять местами интегралы:

(свойство линейности) –

сходится равномерно по y на сегменте . по формуле Ньютона-Лейбница:

.

Таким образом, интеграл сходится равномерно по y на сегменте .

Так как , то , такая:

Следовательно, I – дифференцируемая функция, ч.т.д.

Теорема 2.12: Пусть и интеграл сходится равномерно по y на каждом сегменте к функции .

Пусть сходится равномерно по y на каждом сегменте к функции .

Пусть существует хотя бы один и .

Тогда:

1. – сходится.

2. – сходится.

3. или в следующем виде .

Док-во: Пусть существует . Без ограничения общности будем считать, что . Используя теорему 2.9, получаем, что и . Поскольку сходится поточечно, то мы можем оценить функцию следующим образом:

. По признаку сравнения интеграл сходится, также . Докажем этот факт, введя следующую функцию :

.

Согласно теореме 2.10 сходится.

.

Фиксируем , следовательно, мы можем записать:

.

По признаку Вейерштрасса интеграл сходится равномерно по R на сегменте . Фиксируем . Выберем : .

Заметим, что интеграл сходится равномерно по y на сегменте (по условию теоремы). Можно указать , что .

Фиксируя , ч.т.д.

Теорема 2.13 (Третья теорема об интегрировании): Пусть интеграл сходится поточечно на к функции ; , сходится поточечно на к функции ; . Пусть далее или , существует один из интегралов или . Тогда существует из них и они равны друг другу.

Док-во: Пусть существует и без ограничения общности будем считать, что . Согласно признаку Дини (теорема 2.8) сходится равномерно на любом сегменте . Тогда интеграл сходится равномерно на : ; либо –1. Следовательно, существует . Тогда, согласно теореме 2.12, сходится , ч.т.д.

§4. Интегралы Эйлера

Рассмотрим интеграл . Рассмотрим первый интеграл. Пусть . Фиксируем . Рассмотрим предел следующей функции:

.

Причем, . Согласно признаку сравнения сходится абсолютно. Пусть , тогда

.

Т.к. , то по признаку сравнения расходится.

Фиксируем . Пусть , тогда мы можем записать:

.

Но интеграл по признаку Вейерштрасса сходится равномерно по p на сегменте . при , следовательно, – бесконечно гладкая на , причем . Интеграл сходится при всех p, сходится равномерно на . , следовательно, – бесконечно гладкая на и . Интеграл сходится при , расходится при и сходится равномерно на . Обозначим – бесконечного дифференциала на . - гамма-функция Эйлера (интеграл Эйлера).

Признаки приведения

1. .

2. .

3. (Формула приведения) Пусть , тогда . . Пусть – ее можно аналитически продолжить на комплексную плоскость, причем полюсами будут все целые точки отрицательной полуоси.

Формула дополнения

Пусть , тогда

Формула Стирлинга

Пусть , тогда

при .

Пусть – интеграл Эйлера первого рода, он сходится при , расходится при или , сходится равномерно на , где .

, при – -функция Эйлера.

. Тогда мы можем записать:

.

.

при :

, но непрерывно зависят от и t при . Согласно теореме о непрерывной зависимости собственного интеграла от параметра непрерывно зависят

. Но также:

. Тогда получается:

. По признаку Вейерштрасса интеграл сходится равномерно по на полупрямой :

– непрерывно зависит от .

Тогда , ч.т.д.

Глава 6. Кратные интегралы, зависящие от параметра

§1. Собственные интегралы, зависящие от параметра

Определение: Пусть . Будем говорить, что A – регулярное множество, если , а также .

Пусть имеются два пространства и . Пусть множество – не пустое, – не пустое, измеряемое по Жордану. Предположим, что имеется функция f, действующая из пространства . Будем считать, что функция интегрируема по x на D. Рассмотрим интеграл:

, где D, Q – замкнутые, регулярные, измеряемые по Жордану множества.

§2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

Пусть – замкнутое, регулярное, измеряемое по Жордану множество. ;

определена при .

Пусть кроме функции F задана функция , g – интегрируемая функция на множестве D. Рассмотрим следующий интеграл: .

Определение: Пусть и пусть для каждого сходится несобственный интеграл , тогда говорят, что этот интеграл сходится поточечно на множестве A.

Определение: Пусть . Пусть для каждого можно указать такую окрестность точки , что для каждого и для каждого множества A, лежащего в пересечении и если A – измеримо по Жордану, то сходится несобственный интеграл , причем . Будем говорить, что несобственный интеграл сходится равномерно по y в точке .

Замечание: Если несобственный интеграл сходится равномерно по y в точке , то можно указать такую окрестность точки , что данный несобственный интеграл сходится поточечно к .

Теорема: Пусть непрерывно зависит от x и y при . Пусть g – интегрируемая функция по x на D. Пусть сходится равномерно по y в точке . Обозначим . Тогда интеграл I непрерывен в точке .

Док-во: Фиксируем . Выберем окрестность точки так, что – множество, измеримое по Жордану и так, что сходится интеграл при , тогда:

1. – окрестность, измеримое по Жордану множество, а D – замкнутое, измеримое по Жордану множество.

2. непрерывно зависит от x и y при .

3. .

Согласно теореме о непрерывной зависимости собственного кратного интеграла от параметра непрерывно зависит от . Тогда можно указать такую окрестность точки , что .

, ч.т.д.

Теорема (признак сравнения): Пусть F – непрерывная при функция, g – интегрируемая функция. Пусть . Тогда для каждого интеграл – сходится равномерно по y в точке .

Док-во N=3 (случай трехмерный): Пусть , , , при . g – интегрируемая функция, а значит она ограниченная, следовательно, можно указать , что при . Фиксируем . Рассмотрим . Фиксируем так, чтобы множество A было множеством, интегрируемым по параметру Жордана, . Фиксируем точку y в нашем шаре. Заметим, при . Согласно признаку сравнения для кратных несобственных интегралов при несобственный интеграл – сходится. . Заметим, что множество A гарантированно будет лежать в нашем шаре: , следовательно, получаем:

. Фиксируем и выберем , тогда при , ч.т.д.

Теорема (о дифференцировании): Пусть F – непрерывная функция при , а y – интегрируемая функция. Пусть , а несобственный интеграл сходится поточечно на , где – некоторая окрестность точки . Пусть – непрерывна при . Пусть сходится равномерно по y в точке , тогда:

1. имеет при .

2. .

Глава 7. Ряды и интегралы Фурье

§1. Тригонометрический ряд Фурье

Определение: Функция определённая на всей числовой прямой называется периодической, если .

Система функций: – такая система функций называется тригонометрической системой функций. Основной вопрос состоит в следующем: можно ли периодическую функцию с периодом 2π представить в виде линейной комбинации функций периодической системы? Далее будут установлены достаточные условия того, когда периодическая функция может быть представлена в указанном виде:

Равенство (1) называется разложением функции в тригонометрический ряд Фурье, коэффициенты и называются коэффициентами Фурье функции . Выведем формулы для и . Для этого будем считать, что задана на сегменте . Отметим свойство ортогональности тригонометрической системы функций: ; ;

; ; В пространстве функций, заданных на сегменте можно ввести скалярное произведение функций следующим образом: ; , – ограниченные. Таким образом интеграл по сегменту от произведения любых двух функций тригонометрической системы равен нулю. Будем предполагать, что для функции справедливо равенство (1)и что ряд Фурье (правая часть равенства (1)) можно почленно интегрировать. Проинтегрируем равенство (1) и соответственно получим:

Умножим равенство (1) на и получаем: . Аналогично получаем, что . Окончательно получаем формулы для , и :

; ; .

Теорема: Если функция периодическая функция с периодом , то для любого числа имеет место следующее равенство: , т.е. интеграл по любому сегменту длиной в период имеет одно и тоже значение.

Док-во: , ч.т.д.

§2. Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье

Определение: Функция называется кусочно-непрерывной на сегменте , если она непрерывна во всех точках сегмента за исключением, быть может, конечного числа точек в которых она имеет разрыв первого рода.

Определение: Кусочно-непрерывная на сегменте функция называется кусочно-гладкой, если производная этой функции существует и непрерывна всюду на сегменте за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых существует правый и левый предел функции.

Лемма 1: (Лемма об аппроксимации непрерывной на сегменте функции). Пусть функция непрерывна на сегменте , тогда для любого существует непрерывная, кусочно-гладкая функция , такая, что для любого из сегмента выполняется условие, что , причём .

Лемма 2: Если функция – кусочно-непрерывна на сегменте , то: при , при .