part2 (Куприянов А.К. - Лекции по курсу общей физики для географического факультета), страница 3

всех сил, действующих на эту точку - как внутренних так и внешних:

D T _i = A _i . ( 6-17 )

Cложив выражения ( 6-17 ) для всех точек системы, получим:

. ( 6-18 )

Левая часть этого уравнения является кинетической энергией всей системы, которую можно обозначить D Т, а правая часть есть общая работа всех сил, которую
можно представить как сумму трех слагаемых:

1. работы всех внутренних потенциальных сил - А _{внутр. пот} ;

2. работы всех внутренних непотенциальных сил - А _{внутр. непот} ;

3. работы всех внешних сил - А _внеш . При этом надо учесть, что суммарная работа всех внутренних потенциальных сил с обратным знаком равна изменению потенциальной энергии системы D U. Поэтому равенство ( 6-18 ) приобретает такой вид: DТ = - DU + А _{внутр. непотен} + А _внеш . Перенося DU в левую часть этого равенства и замечая, что D Т + DU = DЕ, получим:

D Е = А _{внутр. непотен} + А _внеш . ( 6-19 )

Выражение ( 6-19 ) представляет собой закон изменения механической энергии:

изменение полной механической энергии системы материальных точек за некоторый промежуток времени равно суммарной работе всех внутренних непотенциальных и всех внешних сил за этот промежуток времени.

Если система замкнута, т.е. на нее не действуют никакие внешние силы или сумма всех внешних сил равна нулю, а все внутренние силы являются потенциальными, то D Е = 0, и выражение

Е = Т + U = const ( 6-20 )

представляет собой закон сохранения полной механической энергии .

В качестве примера применения этого закона рассмотрим вывод так называемой второй космической скорости, под которой подразумевается скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно оказалось способным преодолеть притяжение Земли. Для этого используем выражение ( 6-7 ) для работы силы тяжести при удалении тела на бесконечно большое расстояние от Земли:

А = - .

Т .к. гравитационные силы потенциальны, величина этой работы, взятая с обратным знаком, определяет значение потенциальной энергии притяжения тела к Земле - А = - U . Тогда из закона сохранения энергии следует что, тело может преодолеть притяжение Земли, если ему сообщить кинетическую энергию T_II , которая равна потенциальной энергии притяжения:

,

( g - ускорение свободного падения на поверхности Земли ), откуда следует, что вторая космическая скорость V_II равна:

» 11,2 кМ/С . ( 6-21 )

Лекция 7. Колебания.

§ 7-1. Гармонические колебания.

Колебаниями называются такие изменения какой - либо физической величины, когда эта величина через определенные промежутки времени принимает одни и те же значения. Любое колебание может быть охарактеризовано такими параметрами:

1. амплитудой колебаний, т.е. величиной наибольшего отклонения от
положения равновесия,

2. периодом колебаний, т.е. временем одного полного колебания; ве-
личина, обратная периоду называется частотой;

1. законом изменения колеблющейся величины со временем; гармо-
   ническое колебание происходит по закону синуса или косинуса;

2. фазой колебаний, характеризующей состояние колебаний в любой момент времени.

Гармоническое колебание может быть представлено в трех видах: графическом, аналитическом и векторным. Графическое представление колебаний изображено

Наконец, в векторном представлении колебание представляется в виде вектора,

удобен для сложения колебаний, когда результирующее колебание находится как векторная сумма всех слагаемых, и будет использоваться во всем курсе.

§ 7-2. Сложение гармонических колебаний.

Наиболее простым примером является сложение двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты, каждое из которые можно

построенного на векторах А₁ и А₂:

; ( 7-2 )

разность j₂-j₁ определяется из рисунка 26. Величина начальной фазы j результирующего колебания определяется из величины тангенса этого угла:

,

где А_{S y} и А_{S х} представляют собой проекции амплитуды суммарного колебания на оси Y и X соответственно. Как следует из рисунка, значение А_{S х} равно сумме проекций на ось Х каждого из слагаемых колебаний:

А_{S х} = Х₂ + Х₁ = А₂ cos j₂ + A₁ cos j₁ . ( 7-3 )

Аналогичное выражение может быть получено и для суммарной проекции на ось Y ( для простоты Y - проекции на рис.26 не показаны):

А_{S y} = Y₂ + Y₁ = A₂ sin j₂ + A₁ sin j₁ . ( 7-4 )

Тогда

. ( 7-5 )

Таким образом определены основные параметры суммарного колебания: амплитуда, частота и начальная фаза. Несколько сложнее найти сумму двух колебаний, если их частоты отличаются друг от друга. Практически интересным является случай, когда это различие незначительно, т.е. w₁= w₀ + W и w₂ = w₀ - W, причем W<< w₀ . Пусть для простоты амплитуды обоих колебаний и их начальные фазы одинаковы. Тогда x₁(t) = Asin(w₀ + W)t и x₂(t) = Asin(w₀ - W)t . Суммируя эти выражения, получим

x₁(t)+ x₂(t) = A{sin(w₀ + W)t + sin(w₀ - W)t} = [2AcosWt] sin w₀t, ( 7-6 )

амплитуды слагаемых колебаний неодинаковы, то картина наблюдающихся бие-

§ 7-3. Сложение перпендикулярных колебаний.

Пусть имеются два гармонических колебания одинаковой частоты, направления колебаний которых взаимно перпендикулярны друг другу. Выберем начало

Из первого уравнения следует, что

= ± . ( 7-9)

Заменяя в уравнении ( 7-8 ) sinwt и coswt их эквивалентами из уравнений ( 7-7 ) и ( 7-9 ) , можно найти:

,

или ( 7-10 )

Возводя обе части уравнения ( 7-10 ) в квадрат и учитывая, что sin² j + cos² j = 1,

получим: