Шпоры, страница 3

Условия задачи должны содержать уравнение теплопроводности в форме

и граничные условия, например, первого рода:

при r=r₁ T=T₁ (21.13а)

при r=r₂ T=T₂. (21.136)

Представим (21.12) в форме

и после первого интегрирования получим

откуда после второго интегрирования получим общее решение урав­нения (21,12):

Постоянные интегрирования C₁ и С₂ определим, используя (21.13) и (21.14).

Совмещая (21.13) и (21.14), получим

при r=r₁ T₁=C₁lnr₁+C₂ (21.15a)

при r=r₂ T₂=C₁lnr₂+C₂. (21.156)

Вычитая из (21.156) уравнение (21.15а), получим

Найдем С₂ из (21.15а) и, используя (21.16), получим

Решение краевой задачи - частное решение уравнения (21.12) при граничных условиях (21.15) получим, подставляя значения С₁ (21.16) и С₂ (21.17) в общее решение (21.14)

Искомое распределение температуры по толщине цилиндрической стенки (21.18) логарифмически зависит от координаты r,

Плотность теплового потока q определяется из закона Фурье. На основании (21.18) имеем

Количество теплоты, проходящее сквозь цилиндрическую стенку, отнесенное к единице длины трубы, можно определить по формуле

Естественно, что Q не зависит от r, так как теплота нигде не аккумулируется.

Многослойная цилиндрическая стенка. Термическое сопротив­ление многослойной цилиндрической стенки (рис. 21.5) равно сумме сопротивлений отдельных слоев. На основании этого утверж­дения и используя формулу (21.19), можно написать уравнение для определения количества теплоты, проходящего сквозь много­слойную цилиндрическую стенку:

где q_l отнесено к единице длины стенки; п—число слоев.

ПУТИ ИНТЕНСИФИКАЦИИ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ

Из уравнения теплопередачи

Q=kFΔt

следует, что при заданных размерах стенки и температурах жидкостей величиной, определяющей теплопередачу, является k. Но поскольку тепло­передача — явление сложное, то правильное решение можно найти только на основе анализа частных составляющих, характеризующих процесс. Так, например, если мы имеем дело с плоской стенкой, для которой

то при δ/λ→ 0 (что можно принять для тонких стенок с большим коэффи­циентом λ)

Интенсификация теплопередачи путем увеличения коэффициентов тепло­отдачи. Из уравнения (2.77) следует, что значение коэффициента тепло­передачи не может быть больше самого малого значения α. При α₂→∞k' стремится к своему предельному значению α₁. При а₁ →∞ коэффициент теплопередачи стремится к α₂.

Из рассмотренного примера видно, что при α_а<< α₂ увеличение большего из коэффициентов теплопередачи (α₂) практически не дает увеличения k. Увеличение меньшего из коэффициен­тов теплоотдачи (α₁) в 2 и 5 раз дает увеличение k' почти во столько же раз. На рис. 2.11 приведена зависимость k' = f (α₁, α₂) согласно формуле (2.77). Из графика следует, что при увеличе­нии а_х значение k' быстро растет до тех пор, пока α₁ не сравняется с α₂. После того как α₁ станет больше α₂, рост k' замедляется и при дальнейшем увеличении α₁ практически прекра­щается. Следовательно, при α₁<<а₂ для увеличения k' следует увеличивать a_l ,т. е. уменьшать большее из термических сопротивлений 1/а_г. Иначе говоря, при а₁ << а₂ увеличение k' возможно только за счет увеличения а₁. Если α₁≈α₂, увеличение коэффициента теплопередачи возможно за счет увеличения любого из α.

Интенсификация теплопередачи за счет оребрения стенок. При передаче теплоты через цилиндрическую стенку термические сопротивления l/α₁d₁ и l/α₂d₂ определяются не только значениями коэффициентов теплоотдачи,

размерами самих поверхностей. При передаче теплоты через шаровую стенку влияние диаметров d₁ и d₂ оказывается еще сильнее, что видно из соотношений l/α₁d²₁ и l/α₂d²₂. Отсюда следует, что если значение а мало, то термическое сопротивление теплоотдачи можно уменьшить путем увеличе­ния соответствующей поверхности. Такой же результат можно получить и для плоской стенки, если одну из площадей поверхности увеличить путем оребрения. Последнее обстоятельство и положено в основу интенсификации теплопередачи за счет оребрения. При этом термические сопротивления станут пропорциональными величинам

Следует указать, что при использовании метода оребрения нужно руко­водствоваться следующими соображениями: если α₁ <<a₂ то оребрять по­верхность со стороны α₁ следует до тех пор, пока α₁F₁, не достигает значения α₂F₂. Дальнейшее увеличение площади поверхности F₁, малоэффективно. Ребристые поверхности изготавливаются или в виде сплошных отливок, или отдельных ребер, прикрепленных к поверхности.

Строгое аналитическое решение задачи о распространении теплоты в ребре связано со значительными трудностями. В основу решения поэтому кладут некоторые допущения, которые позволяют сравнительно простым путем получить нужный результат. Ниже рассмотрим метод решения задач о теплопроводности в ребрах простейших геометрических форм.

Теплопередача через однослойную и многослойную цилиндрическую стенку при стационарном режиме. Анализ полного термического сопротивления теплопередачи цилиндрической стенки.

Граничные условия третьего рода (теплопередача). Рассмотрим одно­родную цилиндрическую стенку (трубу) с постоянным коэффициентом тепло­проводности λ. Заданы постоянные температуры подвижных сред t_Ж1 и t_Ж2 и постоянные значения коэффициентов теплоотдачи на внутренней и наруж­ной поверхностях трубы а₁ и а₂ (рис. 2.7).

Необходимо найти q_l и t_c. Будем полагать, что длина трубы велика по сравнению с толщиной стенки. Тогда потерями теплоты с торцов трубы можно пренебречь, и при установившемся тепловом режиме будет проходить через стенку и отдаваться от стенки к холодной жидкости одно и то же коли­чество теплоты.

Обозначим:

С учетом (2.50) уравнение (2.49) запишется в виде

Величина k_l называется линейным коэффициентом теплопередачи и измеряется в Вт/(м-К). Она характеризует интенсивность передачи теплоты от одной среды к другой через разделяющую их стенку. Значение k_l численно равно количеству теплоты, которое проходит через стенку длиной 1 м в единицу времени от одной среды к другой при разности температур между ними 1 К.

Величина R_l = l/k_l м-К/Вт, обратная линейному коэффициенту тепло­передачи, называется линейным термическим сопротивлением теплопере­дачи. Она равна:

где 1 /α₁d₁ и 1/α₂d₂ — термические сопротивления теплоотдачи на соответ­ствующих поверхностях, обозначим их соответственно R_l1 и R_l2;

1/2λInd₂/d₁— термическое сопротивление теплопроводности стенки, обозначим его через

R_lc

При теплопередаче через многослойную цилиндрическую стенку система равенств (2.48') должна быть заменена системой, учитывающей сопротивление теплопроводности всех слоев:

После сложения равенств и решения относительно q_l Вт/м, полу­чим:

Величина

называется полным термическим сопротивлением многослойной цилиндри­ческой стенки и измеряется в м-К/Вт.

Из уравнения следует, что

При задании граничных условий первого рода их можно рассматривать как предельный случай граничных условий третьего рода, когда коэффи­циенты теплоотдачи на поверхностях α₁ и α₂ устремляются к бесконечности, в силу чего t_Ж1 и t_Ж2 становятся равными t_c1 и t_c(n+1) При этих условиях уравнение (2.56) принимает вид:

Теплопередача через однослойную и многослойную плоскую стенку при стационарном режиме.

Величина, обратная коэффициенту теплопередачи, называется полным термическим сопротивлением теплопередачи:

Из (2.25) видно, что полное термическое сопротивление складывается из частных термических сопротивлений 1/α₁ δ/λ и 1/α₂, причем 1/α₁ =R₁ -термическое сопротивление теплоотдачи от горячей жидкости к поверхности стенки; δ/λ = R_с — термическое сопротивление теплопроводности стенки; 1/α₂ = R₂ — термическое сопротивление теплоотдачи от поверхности стенки к холодной жидкости.

Поскольку общее термическое сопротивление состоит из частных терми­ческих сопротивлений, то совершенно очевидно, что для многослойной стенки нужно учитывать термическое сопротивление каждого слоя. Если стенка состоит из п слоев, то полное термическое сопротивление теплопере­дачи через такую стенку будет равно:

отсюда