Шпоры, страница 2
Описание файла
Документ из архива "Шпоры", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "тепломассобмен и теплопередача" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МПУ. Не смотря на прямую связь этого архива с МПУ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "теплопередача" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Шпоры"
Текст 2 страницы из документа "Шпоры"
-из-за того, что элемент массы движется в поле переменной скорости, мгновенные градиенты которого в направлении , не равны нулю.
Уравнение движения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости:
Если при изменении плотности и давления происходит изменение температуры (неизотермический процесс), то к системе уравнений сплошности и движения следует присовокупить уравнение состояния в форме F(p, р,T)=0.
Для идеального газа уравнение состояния имеет вид
Все четыре члена каждого уравнения (19.8) имеют размерность силы, отнесенной к объему.
Уравнения Навье—Стокса для сжимаемых жидкостей (p=var) отличаются только нормальными напряжениями, каждое из которых имеет добавочный член в уравнениях (19.7) в форме -4/3μdivW.
Уравнения определяют характер распределения скорости в однородном поле потока с постоянной плотностью. Эти уравнения применимы как к установившемуся, так и неустановившемуся течению.
Уравнение сплошности (неразрывности движения), его физический смысл
В основе этого уравнения лежит закон сохранения массы. Элемент объема жидкости (dx dydz) располагается в произвольной точке x, у, z потока (рис. 19,1, а). Состояние жидкости и свойства переноса в точке (x, у, z) обозначим через Т, р, ρ, μ,. Скорость потока W в координатах х, у, z выразим через ее проекции. wx wy wz на оси х, у, z (рис. 19.1).
Пусть плотность жидкости постоянна р=const, тогда масса жидкости в объеме dxdydz должна сохраняться постоянной как при стационарном (скорость потока W не изменяется во времени), так и нестационарном режиме течения. Результирующий массовый расход жидкости через все шесть граней элементарного объема должен быть равен нулю.
Массовый расход жидкости вдоль осп х в точке х, у, z равен pwx через единицу площади, а через левую грань элементарного объема (рис. 19.1,6) равен pwxdydz. Разность массовых расходов жидкости через две грани, перпендикулярные оси х, или скорость накопления (расхода) массы в элементе dxdydz через указанные грани равна
Аналогичные результаты для осей у и z:
Уравнение сплошности для потока жидкости при ρ=const получим, приравнивая нулю сумму массовых расходов через все шесть граней элемента
Для потока жидкости с переменной плотностью разность между скоростью прихода массы в элемент и скоростью ухода массы из элемента равна скорости накапливания (расхода) массы элементом объема dxdydz, т. е.
Уравнение (19.2) называют уравнением сплошности. Уравнение (19.2) в векторной форме имеет вид
Вектор pW представляет собой поток массы, и его дивергенция (div) есть скорость растекания (вытекания) на единицу объема.
Уравнение (19.2) устанавливает, что уменьшение плотности жидкости в элементе объема равно отношению скорости ее вытекания из элемента к объему элемента.
Основное уравнение теории теплопроводности (уравнение Фурье) и его физический смысл. Краевые условия (условия однозначности). Краевые условия 1-ого, 2-ого, 3-его рода.
В основе уравнения энергии лежит закон сохранения энергии. Рассмотрим элемент массы, мгновенно занимающий объем с центром в точке х, у, z (рис. 19.4, а, б).
Элемент массы проходит через точку х, у, z со скоростью W. Скорость изменения температуры определяется полной производной в форме
Скорость изменения накопленной в элементе энергии (скорость накапливания) является произведением теплоемкости с, массы ρ dx dy dz и скорости изменения температуры (19.10), т. е.
Скорость накапливания энергии должна быть равна скорости прихода энергии через все шесть граней элемента.
Скорость прихода энергии за счет теплопроводности определяется по закону Фурье. Плотность теплового потока в элемент в направлении оси x равна qx =-λ∂T/∂x. Скорость прихода энергии за счет теплопроводности в направлении оси х
Соотношения, аналогичные (19.12), могут быть получены для скорости прихода энергии в направлении осей у и z.
Сумма трех скоростей прихода энергии по осям х, у к z устанавливается равной скорости накапливания энергии в элементе по (19.11), т.е.
Уравнение (19.13) называют уравнением энергии.
Принимаем в (19.13) wx = 0, wy= 0, wz=0 а также постоянным коэффициент λ и, вводя обозначение а=λ/(cρ), где a — температуропроводность (м2/с), получим уравнение нестационарной теплопроводности в изотропном твердом теле (при отсутствии источников стоков теплоты)
Уравнение (19.14) называют уравнением теплопроводности Фурье. Решением этого уравнения является распределение температуры в пространстве и времени — температурное поле
T = f(x, у, z. τ). Если температура твердого тела не изменяется по времени дТ/ди = 0 то (19.14) примет вид
где 2 — оператор Лапласа; последнее уравнение называют уравнением Лапласа.
Для исследования (расчета) конкретных процессов теплообмена нужно сформулировать и решить краевую задачу, которая должна содержать уравнения сплошности, движения и энергии плюс крае-вые условия или условия однозначности, Задать краевые условия — значит сформулировать, во-первых, начальные условия (значения искомых функций в указанных уравнениях в начальный момент времени т-0), во-вторых, граничные. условия на поверхностях, ограничивающих движущуюся жидкость.
Для уравнений сплошности и движения граничные условия определяются для каждой задачи, но общими для всех задач будут два следующих: первое—составляющая скорости жидкости, нормальная к поверхности твердого тела (непроницаемого), равна нулю на поверхности раздела жидкости и твердого тела; второе — при течении сплошной среды, для которой применимы указанные выше уравнения, составляющая скорости жидкости, направленная по касательной к поверхности раздела жидкости и твердого тела, также принимается равной нулю. Считается, что жидкость не скользит при соприкосновении с поверхностью, а «прилипает» к поверхности.
К уравнению энергии для искомой, функции—температуры —
1) граничные условия первого рода, когда задают значения температуры на ограничивающих жидкость поверхностях; в общем случае температура на границе может зависеть от координат точек границы и времени;
2) граничные условия второго рода, когда на поверхности задана плотность теплового потока, т, е. производная от температуры по нормали к поверхности (в виде функции времени и координат точек поверхности);
3) граничные условия третьего рода, в которых тепловой поток предполагается пропорциональным разности температур стенки и жидкости:
в этом условии должен быть задан коэффициент теплоотдачи а, а также температура среды Tf,
через граничные условия устанавливается зависимость течения жидкости от формы и размеров (диаметра трубы, толщины пластины и т. д.) твердого тела, взаимодействующего с потоком.
Решение задачи опредиления темпратурного поля однослойной плоской стенки при стационарном режиме граничных условиях певого рода. Многослойная плоская стенка. Тепловой поток через однослойную и многослойную стенку
Условия задачи должны содержать уравнение теплопроводности в форме
и граничные условия, например, первого рода:
T=T1 при x=0 (21.3a)
T=T2 при x=δ (21.3б)
Представим (21.2) в форме
и после первого интегрирования получим
второе интегрирование дает общее решение уравнения (21.2)
где C1 и С2—произвольные постоянные, которые определяют, используя граничные условия (21.3).
Полагая в (21.4) х=0 и используя (21.За), получим
T1=C2 (21.5)
а при x=δ на основании (21.36) и (21.4) имеем
откуда
Частное решение уравнения (21.2) при граничных условиях (21.3) с учетом (21.4), (21.5) и (21.6) имеет вид
Из (21.7) видно, что Т(х) линейно зависит от x.
Плотность теплового потока q (рис. 21.1) может быть определена из закона Фурье
или в данном случае
Дифференцируя распределение температуры по толщине стенки (21,7). Получим
откуда
Из (21.8) видно, что при T1 > T2 плотность теплового потока положительна, т. е. поток направлен в положительном иаправлении оси х. При T1< T2 он будет направлен в обратную
сторону. Количество теплоты, переданное через стенку в единицу времени, вычисляется с помощью (21.8)
где А—площадь поверхности стенки, м2.
Определим плотность теплового потока через трехслойную стенку (рис. 21.2); для этого вначале определим термическое сопротивление для каждого слоя (§ 18.1):
Стожим почленно полученные соотношения, в результате получим
откуда
На основании последнего соотношения для многослойной стенки , получим
Решение задачи опредиления темпратурного поля однослойной цилиндрической стенки при стационарном режиме граничных условиях певого рода. Многослойная цилиндрическая стенка. Тепловой поток через однослойную и многослойную стенку