Шушерина О.А. - Математическая статистика для психологов, страница 11

Тема 1. Корреляционная связь и ее статистическое изучение

В данной части исследуются вопросы зависимости между двумя случайными величинами на основе двумерной выборки , , …, . В корреляционном анализе зависимость оценивается с помощью выборочного коэффициента корреляции .

1. Понятие корреляционной связи

Одна из задач статистического исследования состоит в изучении связи, взаимозависимости между наблюдаемыми явлениями. Знание взаимозависимостей случайных величин дает возможность решить одну из кардинальных задач любого исследования: возможность предвидеть, прогнозировать развитие ситуации при изменении конкретных характеристик объекта исследования.

Различают два типа взаимосвязей между различными явлениями и их признаками: функциональная зависимость и статистическая зависимость (либо независимость).

Если каждому определенному значению факторного признака соответствует по определенному закону вполне определенное значение результативного признака , то такой вид причинной зависимости называется функциональной связью. В жизни функциональные связи встречаются далеко не всегда, поскольку каждая переменная определяется воздействием многих факторов – генетических, социальных, педагогических и т.д.

Статистической называется зависимость, при которой изменение одной случайной величины влечет изменение распределения другой случайной величины.

Корреляционная связь – это зависимость среднего значения результативного признака от изменения факторного признака.

• Функциональная зависимость между значениями одной переменной и условным математическим ожиданием другой переменной называется корреляционной зависимостью.

Использование термина «зависимость » подразумевает влияние признаков друг на друга, в отличие от термина «связь».

Корреляционная связь – согласованное изменение двух признаков, отражающее факт, что изменчивость одного признака находится в соответствии с изменчивостью другого.

Корреляционная связь между признаками может возникать различными путями:

• важнейший путь - причинная зависимость результативного признака от вариации факторного признака;

• вместе с тем, корреляционная связь может возникнуть между следствиями общей причины;

• корреляция возникает и в случае, когда каждый из признаков - и причина, и следствие.

2. Задачи корреляционного анализа

Корреляционным анализом называется раздел математической статистики, исследующий зависимость между случайными величинами с помощью выборочных оценок генеральных коэффициентов корреляции.

Корреляционный анализ состоит в определении степени тесноты корреляционной связи между переменными и количественной оценке тесноты этой связи. Корреляционный анализ следует применять только в том случае, если данные наблюдений или эксперимента можно считать случайными и выбранными из нормальной совокупности.

Перечислим задачи корреляционного анализа.

1. Установление направления корреляционной связи.

у у у

х х х

Положительная корреляция Отрицательная корреляция Нет корреляции

2. Установление формы связи (линейная, нелинейная).

3. Измерение тесноты связи с помощью ее количественной оценки – коэффициента корреляции.

4. Проверка значимости коэффициента корреляции, который выступает мерой связи между случайными величинами.

Отметим особенности корреляционной связи.

1. Корреляционная связь не может рассматриваться как свидетельство причинно-следственной зависимости. Она свидетельствует лишь о том, что изменения одного признака, как правило, сопровождаются определенными изменениями другого, то есть отражает согласованные изменения признаков, которые могут объясняться множеством причин, в том числе зависимостью обоих признаков от третьего признака или сочетания других признаков.

2. Корреляционная связь не дает ответа на вопрос, где находится причина изменений – в одном из признаков или за пределами исследуемой пары признаков.

3. Выборочный коэффициент линейной корреляции

Поставим вопрос: как оценить направление и силу линейной корреляционной связи с помощью коэффициента корреляции?

Для генеральной совокупности коэффициент корреляции, как правило, неизвестен, поэтому он оценивается по экспериментальным данным, представляющим собой выборку объема пар значений , полученную при измерении двух признаков.

Коэффициент корреляции, определяемый по выборочным данным, называется выборочным коэффициентом корреляции и обозначается символом .

Если связь между признаками имеет линейный характер, то коэффициент корреляции называется коэффициентом линейной корреляции Пирсона. Для оценки тесноты нелинейной связи служит корреляционное отношение.

Приведем формулу для вычисления выборочного коэффициента линейной корреляции:

,

где , , - выборочные средние;

, - выборочные средние квадратические отклонения.

4. Свойства выборочного коэффициента корреляции

1. Коэффициент корреляции является безразмерной величиной и его значение не зависит от единиц измерения признаков и . Коэффициент линейной корреляции принимает значения на отрезке от (-1) до (+1), т.е.

.

2. Направление взаимосвязи. Если , то корреляционная связь между переменными положительная: большему значению одной переменной соответствует в среднем большее значение другой переменной. Если , то корреляционная связь между переменными отрицательная: большему значению одной переменной соответствует в среднем меньшее значение другой переменной.

3. Форма связи. По форме зависимость признаков может быть линейной или нелинейной. Если коэффициент линейной корреляции Пирсона по модулю близок к 1, то это соответствует высокому уровню линейной связи между переменными.

4. Теснота связи. В зависимости от того, насколько приближается к 1, различают сильную, умеренную и слабую связь.

Если коэффициент корреляции по абсолютной величине больше 0,95, то принято считать, что между переменными существует тесная линейная зависимость.

Если величина лежит в диапазоне от 0,7 до 0,95, то говорят о сильной линейной связи между переменными.

Если , говорят о средней линейной связи.

Если , говорят об умеренной линейной связи.

Если , говорят о слабой линейной связи.

При считают, что линейная связь очень слабая или линейную взаимосвязь между переменными выявить не удалось.

При значении коэффициента корреляции, очень близком к 0, линейная связь между двумя выборками отсутствует, но может быть нелинейная форма корреляционной связи.

Вопросы для обсуждения.

Согласны ли вы, что:

1) выборочный коэффициент корреляции показывает, что связь между Х и У можно охарактеризовать как функциональную зависимость?

2) если выборочный коэффициент корреляции двух признаков близок по абсолютной величине к нулю, то между исследуемыми признаками отсутствует значимая линейная корреляция?

3) если выборочный коэффициент линейной корреляции , то большему значению одного признака всегда соответствует большее значение другого признака?

Тестовые задания

1. Коэффициент корреляции является мерой …

1. статистической связи между случайными величинами

2. вероятностной связи между случайными величинами

3. корреляционной связи между случайными величинами

4. линейной связи между случайными величинами

2. Высокому уровню линейной связи между переменными соответствует значение коэффициента линейной корреляции ….

1. по модулю близкое к нулю

2. по модулю близкое к единице

3. положительное

4. больше 1

3. Выборочный коэффициент линейной корреляции …

1. безразмерная величина

2. зависит от единиц измерения признаков и

3. имеет размерность, совпадающую с размерностью признаков и

4. имеет размерность произведения размерностей признаков и

4. Отметьте не менее двух правильных ответов. Задачи корреляционного анализа:

1. установление направления корреляционной связи

2. установление формы корреляционной связи

3. измерение тесноты корреляционной связи

4. нахождение уравнения регрессии

5. Выборочный коэффициент линейной корреляции принимает значения ...

1. от –1 до –1

2. больше нуля

3. положительные и отрицательные

4. от нуля до единицы

6. Отметьте не менее двух правильных ответов. Проверка значимости выборочного коэффициента корреляции основана на статистической проверке гипотезы:

1. в генеральной совокупности отсутствует корреляция

2. отличие от нуля выборочного коэффициента корреляции объясняется только случайностью выборки

3. коэффициент корреляции значимо отличается от 0

4. отличие от нуля выборочного коэффициента корреляции не случайно

Ответы. 1. 3. 2. 2. 3. 1. 4. 1, 2, 3. 5. 1. 6. 1, 3.

Контрольные вопросы

1. Назовите виды зависимостей между признаками, которые могут иметь место в психологическом исследовании.

2. Какая зависимость между психологическими признаками называется статистической? Приведите пример.

3. В чем отличие терминов «корреляционная связь» и «корреляционная зависимость»?

4. Сформулируйте основные задачи корреляционного анализа.

5. Приведите пример положительной корреляционной связи между психологическими признаками. Ответ обоснуйте.

6. Приведите пример линейной положительной корреляционной связи между психологическими признаками. Ответ обоснуйте.

7. Приведите пример линейной отрицательной корреляционной связи между психологическими признаками. Ответ обоснуйте.

8. Сформулируйте свойства коэффициента корреляции Пирсона.

9. Какой вывод делает исследователь, если выборочный коэффициент корреляции Пирсона равен: 1) ; 2) ; 3) ?

Тема 2. значимость выборочного коэффициента линейной корреляции

1. Вычисление выборочного коэффициента линейной корреляции