Шушерина О.А. - Математическая статистика для психологов, страница 12
Описание файла
Документ из архива "Шушерина О.А. - Математическая статистика для психологов", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МПУ. Не смотря на прямую связь этого архива с МПУ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "теория вероятности" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Шушерина О.А. - Математическая статистика для психологов"
Текст 12 страницы из документа "Шушерина О.А. - Математическая статистика для психологов"
При вычислении выборочного коэффициента корреляции выделим случай несгруппированных данных (их немного или различные значения количественного признака 
и соответствующие им значения признака 
наблюдаются по одному разу).
|
|
|
| … |
|
|
|
|
| … |
|
Для вычисления коэффициента корреляции необходимо подставить в формулу 
выражения для выборочных средних и выборочных средних квадратических отклонений.
Пример 1. В таблице приведен ряд, устанавливающий связь между уровнем 
и уровнем средней успеваемости учащихся десятого класса.
Наблюдаемые данные уровня и среднего уровня успеваемости по математике
у школьников десятого класса
| уровень | 75 | 85 | 90 | 100 | 105 | 110 | 110 | 115 | 115 | 120 | 125 | 130 | 140 |
| средняя успеваемость | 3,1 | 3,1 | 3,5 | 3,7 | 3,8 | 4,0 | 4,2 | 4,3 | 4,6 | 4,7 | 4,8 | 4,9 | 5,0 |
Существует ли взаимосвязь между уровнем (признак ) и средним уровнем успеваемости по математике (признак )?
Решение
Представим исходные данные в расчетную таблицу.
| № п/п |
|
|
|
|
|
| 1 | 75 | 3,1 | 5625 | 9,61 | 232,5 |
| 2 | 85 | 3,1 | 7225 | 9,61 | 263,5 |
| 3 | 90 | 3,5 | 8100 | 12,25 | 315,0 |
| 4 | 100 | 3,7 | 10000 | 13,69 | 370 |
| 5 | 105 | 3,8 | 11025 | 14,44 | 399 |
| 6 | 110 | 4,0 | 12100 | 16,00 | 440 |
| 7 | 110 | 4,2 | 12100 | 17,64 | 462 |
| 8 | 115 | 4,3 | 13225 | 18,49 | 494,5 |
| 9 | 115 | 4,6 | 13225 | 21,16 | 529 |
| 10 | 120 | 4,7 | 14400 | 22,09 | 564 |
| 11 | 125 | 4,8 | 15625 | 23,04 | 600 |
| 12 | 130 | 4,9 | 16900 | 24,01 | 637 |
| 13 | 140 | 5,0 | 19600 | 25,00 | 700 |
| Суммы | 1420 | 53,7 | 159150 | 227,03 | 6006,5 |
Вычислим выборочные средние:
; 
; 
.
Теперь вычислим значения выборочных средних квадратических отклонений:
Подставим в формулу:
.
Корреляционная связь между уровнем и средним уровнем успеваемости по математике близка к линейной положительной. Чем выше уровень у десятиклассников, тем выше средний уровень успеваемости по математике, и наоборот.
2. Проверка значимости коэффициента корреляции
Так как выборочный коэффициент 
вычисляется по выборочным данным, то он является случайной величиной. Если 
, то возникает вопрос: объясняется ли это действительно существующей линейной связью между 
и
или вызвано случайными факторами?
Проверим нулевую гипотезу о том, что в генеральной совокупности отсутствует корреляция 
: 
, а отличие от нуля выборочного коэффициента корреляции объясняется только случайностью выборки.
Альтернативная гипотеза может быть одной из видов: двусторонней 
: 
(если не известен знак корреляции); или односторонней : 
или : 
(если знак корреляции может быть заранее определен).
Способ 1. Для проверки гипотезы используется 
-критерий Стьюдента. Вычисляется эмпирическое значение -критерия Стьюдента по формуле
,
где - выборочный коэффициент корреляции, 
- объем выборки.
Вычисленное эмпирическое значение 
сравнивается с найденным по таблице критическим значением 
при выбранном уровне значимости 
и числе степеней свободы 
для двустороннего критерия.
Критическая область задается неравенством 
.
Если 
, то принимается нулевая гипотеза. Значит, в генеральной совокупности отсутствует значимая корреляция, а отличие от нуля выборочного коэффициента корреляции объясняется только случайностью выборки.
Если 
, то нулевая гипотеза отклоняется. Делаем выводы:
-
для двусторонней альтернативной гипотезы – коэффициент корреляции значимо отличается от нуля;
-
для односторонней гипотезы – существует статистически значимая положительная (или отрицательная) корреляция.
Способ 2. Можно воспользоваться также таблицей критических значений коэффициента корреляции, из которой находим величину критического значения коэффициента корреляции 
по числу степеней свободы 
и уровню значимости .
Если 
, то в генеральной совокупности отсутствует значимая корреляция между исследуемыми признаками, а отличие от нуля выборочного коэффициента корреляции объясняется только случайностью выборки либо объем выборки недостаточен для выявления линейной связи.
Если же 
, то делается вывод, что коэффициент корреляции значимо отличатся от 0 и существует статистически значимая корреляция.
Так, одни явления могут одновременно, но независимо друг от друга (совместные события) происходить или изменяться (ложная регрессия). Другие – находиться в причинной зависимости не друг с другом, а по более сложной причинно-следственной связи (косвенная регрессия). Таким образом, при значимом коэффициенте корреляции окончательный вывод о наличии причинно-следственной связи можно сделать только с учетом специфики исследуемой проблемы.
Пример 2. Определить значимость выборочного коэффициента корреляции, вычисленного в примере 1.
Решение.
Выдвинем гипотезу ![]()
: ![]()
о том, что в генеральной совокупности отсутствует корреляция. Так как знак корреляции в результате решения примера 1 определен – корреляция положительна, то альтернативная гипотеза является односторонней вида ![]()
: ![]()
.
Найдем эмпирическое значение ![]()
-критерия:
Число степеней свободы равно 
, уровень значимости выберем равным 
. По таблице «Критические значения -критерия Стьюдента при различных уровнях значимости» находим критическое значение 
.
Так как , то между уровнем и средним уровнем успеваемости по математике существует статистически значимая корреляция.
Тестовые задания
1. Отметьте не менее двух правильных ответов. Проверка значимости выборочного коэффициента корреляции основана на статистической проверке гипотезы о том, что …
-
в генеральной совокупности отсутствует корреляция
-
отличие от нуля выборочного коэффициента корреляции объясняется только случайностью выборки
-
коэффициент корреляции значимо отличается от 0
-
отличие от нуля выборочного коэффициента корреляции не случайно
2. Если выборочный коэффициент линейной корреляции 
, то большему значению одного признака соответствует … большее значение другого признака.
-
в среднем
-
всегда
-
в большинстве наблюдений
-
изредка
3. Выборочный коэффициент корреляции 
показывает, что связь между Х и У можно охарактеризовать как …
-
функциональную зависимость
-
сильную линейную положительную
-
слабую линейную положительную
-
отсутствует линейная зависимость
Ответы. 1. 1, 3. 2. 1. 3. 2.
Контрольные вопросы
-
Что означает «проверить значимость коэффициента корреляции»?
-
Как проверить значимость коэффициента корреляции?
-
Как вы понимаете слова «между психологическими признаками отсутствует значимая корреляция»?
-
Пусть в задаче выявления силы линейной связи между психологическими признаками найден выборочный коэффициент корреляции
![]()
(для объема выборки ![]()
и уровне значимости 0,05). Можно ли говорить, что существует статистически значимая положительная корреляция между психологическими признаками? -
Пусть в задаче выявления силы линейной связи между психологическими признаками найден выборочный коэффициент корреляции
![]()
(для объема выборки ![]()
и уровне значимости 0,05). Можно ли говорить, что отличие от нуля выборочного коэффициента корреляции объясняется только случайностью выборки?
Тема 3. коэффициенты ранговой корреляции и ассоциации
