Примеры решения задач по споротивлению материалов

 

Сопротивление материалов – заочно

Для студентов заочной формы образования
Казанского государственного технологического университета

Примеры решения задач

Задача 1. СТЕРЖНЕВАЯ СИСТЕМА

Два стальных стержня, шарнирно соединенных в точке А, находятся под действием силы Р .Первый стержень имеет длину с и площадь поперечного сечения F, второй длину a и площадь 2F.

Требуется найти: 1) величину нормальный напряжений, действующих в стержнях. 2) абсолютную и относительную деформации стержней. Исходные данные: Р = 130 кН, с = 1,5 м, а = 2 м, F = 12 см^2. Решение. Стержни прикреплены к стене и соединены между собой шарнирами (точках В , С и А ). Шарниры предполагаются идеальными, т. е. такими, трение в которых отсутствует. Нагрузка Р приложена в узле А . Поэтому стержни будут испытывать только продольные (растягивающие или сжимающие) усилия, т.е. в поперечных сечениях стержней возникает только один внутренний силовой фактор - продольная сила N . 1. Для определения усилий используем метод сечений . Рассечем стержни, отбросим часть, содержащую опорные точки. Заменяя действие отброшенной части, приложим в сечениях неизвестные продольные усилия N 1 и N 2 .Полагая оба стержня растянутыми, направим усилия N 1 , и N 2 так, как показано на рис. (1.2).

Уравновесим отсеченную часть. Для сходящейся плоской системы сил можно составить два независимых уравнения равновесия - в виде сумм проекции всех сил на две оси х и у (рис. 1.2).

Тогда уравнения равновесия представятся в виде:

Для определения и рассмотрим стержневую систему (рис.1.1). Из точки А опустим перпендикуляр А D на прямую ВС , получим два прямоугольных треугольника ABD и АDC .

Из треугольника ABD определим AD : м. Из треугольника AD С получим: , . Теперь определим неизвестные усилия N 1 , и N 2 из системы двух линейных уравнений (1.1). Перепишем уравнения в следующем виде:

(1.2)

Решим систему (1.2), используя, например, метод Крамера.

 

2. Определим нормальные напряжения, действующие в стержнях.

Напряжения в стержнях определяются по формуле

Для первого стержня

МПа,

для второго стержня

МПа,

3. Найдем абсолютную и относительную деформации стержней.

Абсолютная деформация стержня длиной l определяется из закона Гука:

Абсолютная деформация первого стержня

м.

Абсолютная деформация второго стержня

м.

Относительную деформацию определим из закона Гука

.

Относительная деформация первого стержня

,

относительная деформация второго стержня

.

Литература: 1 § 1.2 – 8.2

Задача 2. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМАЯ СТЕРЖНЕВАЯ СИСТЕМА

Абсолютно жесткий брус шарнирно закреплен на неподвижной опоре и поддерживается двумя стержнями (рис. 2.1).

Требуется найти: 1)  усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу ; 2)  допускаемую нагрузку [ ], приравняв большее из напряжений в двух стержнях допускаемому напряжению = 160 МПа; 3)  предельную грузоподъемность системы Q пр и допускаемую нагрузку [ Q пр ], если предел текучести т = 240 МПа и запас прочности n = 1,5; 4) сравнить величины допускаемых нагрузок [ Q ] и [ Q пр ]. Исходные данные: а = 2,1 м, b = 2,4 м, с = 1,5 м, F = 12см 2 .

Решение.

1. Рассечем стержни АА 1 и ВВ 1 , усилия N 1 , и N 2 в стержнях АА 1 , и ВВ 1 , направим вдоль осей стержней как показано на рис.2.2. Реакция опоры К имеет горизонтальную составляющую Н К , и вертикальную составляющую R К , так как эта опора препятствует горизонтальному и вертикальному перемещению точки К бруса. Таким образом, всего имеется четыре неизвестные реакции (рис.2.2), а независимых уравнений равновесия для плоской системы сил можно составить всего три. Следовательно, данная система один раз статически неопределима Статически неопределимые системы рассчитывают путем совместного решения уравнений, полученных в результате рассмотрения статической, геометрической и физической сторон задачи.

Статическая сторона задачи. По условию задачи необходимо определить усилия N 1 и N 2 , a в определении реакций Н К и R К нет необходимости. Поэтому достаточно из трех возможных уравнений равновесия использовать одно, в которое не входили бы реакция Н К и R К . Таким является уравнение суммы моментов всех сил относительно шарнира К :

где (м).

Подставляя в уравнение значения h , b и с , получим

(2.1)

Геометрическая сторона задачи . Под действием внешней силы абсолютно жесткий брус повернется вокруг точки К . Шарниры А и В после деформации переходят в положение А 2 и В 2 соответственно, т.е. перемещаются по вертикали на величины 1 и 2 (рис.2.3).

Из подобия треугольников AA 2 К и ВВ 2 К находим (2.2) Выразим укорочение стержня АА 1 и удлинение стержня В B 1 , через перемещения 1 и 2 . ,

откуда

или с учетом равенства (2.2)

(2.3)

Физическая сторона задачи . Используя закон Гука, записанный для абсолютных деформаций, выразим деформации стержней через усилия

(2.4)

Подставим выражения (2.3) в условие (2.4)

после сокращения получим

Решаем совместно уравнения статики (2.1) и уравнение (2.5):

Определяем напряжения в стержнях 1 и 2:

Па,

Па.

2. Найдем допускаемую нагрузку [ ], приравняв большее по модулю напряжение допускаемому напряжению = 160 МПа.

,

откуда

Н.

3. Найдем нагрузки предельную - Q пр и допускаемую - [ Q пр ], если предел текучести Т = 240 МПа и запас прочности n = 1,5.

При увеличении нагрузки Q c верх значения [ Q ] напряжения в обоих стержнях сначала увеличивается прямо пропорционально нагрузке. При увеличении нагрузки до некоторой величины Q > [ Q ] напряжение 2 во втором стержне достигают предела текучести Т , а усилие N 2 - предельного значения N 2 пр = Т · F . При этом напряжение 1 сжатия в первом стержне остается меньше Т . При дальнейшем увеличении нагрузки, напряжения во втором стержне остаются постоянными, равными пределу текучести, а в первом - возрастают, пока также не достигают Т , усилие N 1 при этом равно

N 1 пр = – Т ·2 F . Это состояние системы называется предельным, соответствующим исчерпанию ее грузоподъемности. Дальнейшее, даже незначительное увеличение нагрузки связано с весьма большими деформациями системы. Величину силы Q , вызываюшую предельное состояние, обозначают Q пр и называют предельной силой.

Для вычисления Q пр подставим в уравнение (2.1) значения предельных продольных усилий, возникающих в стержнях N 1 = N 1 пр , N 2 = N 2 пр :

откуда

Н.

4. Сравним величины допускаемых нагрузок [ Q ] и [ Q пр ]

= 1,38.

Литература: 1, §9.2.

Задача З. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

Элементарный параллелепипед, находящийся в произвольном месте стальной конструкции подвергается действию системы напряжений, лежащих в одной плоскости (рис.3.1).

Требуется найти: 1) главные напряжения и направление главных площадок; 2)  максимальные касательные напряжения; 3)  главные деформации 1 , 2 , 3 ; 4)  эквивалентное напряжение по четвертой (энергетической) теории прочности; 5)  относительное изменение объема; 6)  удельную потенциальную энергию деформации.

Исходные данные: х = 90 МПа, у = 80 M П a , х y = 50 МПа.