Control System Toolbox (Лабораторная работа по ТАУ), страница 7

Здесь матрица коэффициентов обратных связей G рассчитывается следующим образом:

G = R^-1(B^TXE + S^T),

а собственные числа L определяются путем решения обобщенной проблемы собственных значений для матриц А - BG и E (L = eig(A - BG, Е).

Функция [X, L, G, report] = care (А, В, Q,..., 'report') возвращает сообщение об ошибке, когда решения уравнения Рикатти не существует. Возвращаемая величина report может принимать следующие значения:

• -1, когда пара матриц Г, Е имеет обобщенные собственные значения на мнимой оси или очень близко к ней. Здесь Г — матрица Гамильтона вида

;

• -2, когда матрица X₁ вырожденная и не существует конечного решения X = X₂X₁^-1.

Возможно применение рассматриваемой функции в форме

[XI, X2, L, report] = care (A, B, Q, ..., 'implicit')

когда матрица X возвращается в неявной форме в виде пары матриц {X₁, X₂}. Заметим, что при таком формате в случае успешного решения возвращается значение report = 0.

Пример применения функции саге:

>> а = [-3 2;1 1]; b = [0 ; 1]; с = [1 -1]; r = 3;

>> [х, l, g] = саге (а, b, с ' *с, r)

x =

0.5895 1.8216

1.8216 7.8188

l =

-3.5026

-1.4370

g =

1. 2.9396

Функция dare возвращает решение дискретного алгебраического уравнения Рикатти:

[X, L, G, rr] = dare(A, B, Q, R) [X, L, G, rr] = dare (A, B, Q, R, S, E)

[X, L, G, report] = dare (A, B, Q, ..., 'report ')

[X1, X2, L, report] = dare (A, B, Q, ..., 'implicit ')

Функция [X,L,G,rr] = dare (A,B,Q,R) находит единственное решение алгебраического уравнения Рикатти

Ric(X) = А^ТХА - X + А^ТХВ(В^ТХВ + R)^-1B^TXA + Q = 0

в виде такой матрицы X, что все собственные значения матрицы замкнутой системы

A_c = A – B(B^ТXB + R)^-1B^ТXA

расположены внутри единичной окружности на плоскости комплексной переменной z. Кроме того, функция возвращает:

• собственные значения L матрицы A_c;

• матрицу коэффициентов обратных связей G = (B^ТXB + R)^-1B^ТXA;

• относительную невязку решения rr, определяемую выражением

.

Функция [X, L, G, rr] = dare (A, B, Q, R, S, E) решает обобщенное уравнение Рикатти вида

Ric(X) = А^ТХА +E^ТXE – (А^ТХВ+S)(В^ТХВ + R)^-1(B^ТXA +S^Т)+ Q = 0

В данном случае матрица коэффициентов обратных связей равна

G = (В^ТХВ + R)^-1(B^ТXA +S^Т),

а собственные числа L определяются путем решения обобщенной проблемы собственных значений для матриц A – BG, E.

Функция [X, L, G, report] = dare (A, B, Q, …, 'report') возвращает сообщение об ошибке, когда решения уравнения Рикатти не существует. Возвращаемая величина report имеет такие же значения, как и для предыдущей функции.

Возможно применение функции в форме [X1, X2, L, report] = dare (А, В, Q,..., ' implicit'), когда матрица X возвращается в неявной форме в виде пары матриц {X₁, X₂}. Заметим, что при таком формате в случае успешного решения возвращается значение report = 0.

Функция lyap возвращает решение непрерывного матричного уравнения Ляпунова:

X = lyap (A, Q) X = lyap (А, В, С)

Функция X = lyap(A,Q) находит решение для матричного уравнения Ляпунова вида

АХ + ХА^Т + Q = 0,

где А и Q — квадратные матрицы одинаковых размеров. Решение X является симметричной матрицей, если таковой является матрица Q.

Функция X = lyap (А, В, С) возвращает решение обобщенного уравнения Ляпунова или уравнения Сильвестра вида

АХ + ХВ + С = 0.

Матрицы А, В, С должны иметь согласованные размеры, но не обязательно быть квадратными.

Функция dlyap возвращает решение дискретного уравнения Ляпунова:

X = dlyap (A, Q)

Рассматриваемая функция решает дискретное уравнение Ляпунова

А^ТХА- Х + Q = 0,

где А и Q — квадратные матрицы.

28