3 (Конспект лекций), страница 8

(3.53)

Функция Ф(х) табулирована и используется в исследованиях. При анализе многих случайных дискретных процессов пользуют­ся распределением Пуассона. Например, поток автомобилей, прибы­вающих на асфальтобетонный завод, поток автомобилей перед све­тофором и другие краткосрочные события, протекающие в единицу времени.

В ероятность появления числа событий х = 1, 2, 3 ... в единицу времени выражается законом Пуассона (рис. 3.11):

(3.54)

где х — число событий за данный отрезок времени t, л — плотность, т. е. среднее число событий за единицу времени; лt — среднее число событий за время t, лt = т.

75

Распределение Пуассона относят к редким событиям, т. е. Р(х) — вероятность того,что событие в период какого-то испытания произой­дет х раз при очень большом числе измерений m. Для закона Пуас­сона дисперсия равна математическому ожиданию числа наступле­ния события за время t, т. е. б²= т. Как видно из формулы (3.45), пуассоновский процесс можно задать двумя параметрами х и т. Табличные значения вероятностей Р(х) для х от 0 до 25 и т от 0.1 до 18 составляет соответственно от 0,904 до 0,023,

Рис. 3. 12. Общий вид кривой показательного распределения. Рис. 3. 13. Общий вид кривой распределения Вейбулла.

Рассмотрим пример. С помощью наблюдений установлено, что за пять минут на погрузку под экскаватор поступает 6 автосамосвалов. Какова вероятность поступления 10 автомобилей за 5 минут? В этом

Случае

Как видно, эта ве­роятность очень мала.

Рассмотрим второй пример. Вероятность возникновения брака составляет 0,02. Какова вероятность того, что в партии из 100 еди­ниц окажется пять бракованных изделий? Имеем 100 • 0,02 = 2;

у = 5, тогда

, т. е. вероятность очень мала.

Для исследования количественных характеристик некоторых процессов (время обслуживания строительных машин в ремонтных мастерских и автомобилей на станции технического обслуживания, время отказов машин и изделий, длительность телефонных разгово­ров между диспетчером и передвижными оперативными пунктами и т. д.) можно применять показательный закон распределения (рис. 3.12).

Плотность вероятности показательного закона выражается за­висимостью

3.55

где л — плотность или интенсивность (среднее число) событий в единицу времени.

76

В показательном законе плотность является величиной, обратной математическому ожиданию

Кроме того, имеет место соотношение

В различных областях исследований широко применяется закон распределения Вейбулла (рис. 3.13).

(3.56)

Здесь n,m - параметры закона; х — аргумент; чаще принимае­мый как время.

Рис. 3. 14. Общий вид кривых гамма-распределения:

t — а = 1; л = 1; 2 — а = 3; X = 1; 3 — а = 4; л = 1,5; 4 — а = 5; л = 2; 5 — а = 6;

л = 1.

Рис. 3. 15. Общий вид кривой распределения Пирсона.

Исследуя процессы, связанные с постепенным снижением пара­метров (ухудшение свойств материалов во времени, деградация кон­струкций, процессы старения, износовые отказы в машинах и др.), применяют закон гамма-распределения (рис. 3.14)

(3.57)

где л, а — параметры.

Если а=1, гамма-функция превращается в показательный закон

(см. рис. 3.12)

(3.58)

При исследовании многих процессов, связанных с анализом кли­матических и гидрологических воздействий на сооружения, установ­лении расчетных характеристик грунтов и материалов и т. д. ис­пользуют закон распределения Пирсона. Из двенадцати типов этого закона чаще всего применяется третий (рис. 3.15):

(3.59)

• где а — максимальная ордината; d,b — соответственно расстояния от максимальной ординаты до центра распределения и начала коор­динат.

77

Кроме приведенных выше применяют и другие виды распределе­ний — Рэля, бета-распределение, Шарлье, Гудрича.

В исследованиях всегда возникает вопрос — в какой мере суще­ственно влияет тот или иной фактор или комбинация факторов на исследуемый процесс? Так, при измерении какой-либо величины, результаты зависят от многих факторов, но основными являются следующие: техническое состояние прибора и внимание оператора.

Методы установления основных факторов и их влияние на иссле­дуемый процесс рассматриваются в специальном разделе теории ве­роятностей и математической статистике — дисперсионном анализе. Различают одно- и многофакторный анализ.

Суть однофакторного дисперсионного анализа рассмотрим на примере. Пусть необходимо проверить степень точности группы ни­велиров (т приборов) и установить, являются ли их систематические ошибки одинаковыми, т. е. изучить влияние одного фактора-прибора на погрешность измерения. Каждым прибором выполнено n измере­ний одного и того же объекта. Всего выполнено nm измерений. Обо­значим отдельные измерения через xij, где i — номер прибора;

j — номер выполненного на этом приборе измерения. Значение i изменяется от 1 до т, j — от 1 до л.

Дисперсионный анализ допускает, что отклонения подчиняются нормальному закону распределения. Вычисляют для каждой серии измерений среднеарифметическое значение и среднюю из показаний первого прибора и т. д. для каждого из ni измерений и mi прибо­ров. В результате таких расчетов устанавливают Q1 и Q2:

(3.60)

где Xi—среднеарифметическое для пi измерения; х—среднеариф­метическое для всех серий измерений (общее среднее значение);

Xij—отдельное i-е измерение на j-м приборе; xi—среднеарифме­тическое для соответствующей серии (группы) измерений.

Величину Q1 называют суммой квадратов отклонений между измерениями серий. Она показывает степень расхождения в систе­матических погрешностях всех т приборов, т. е. характеризует рассеивание исследуемого фактора между приборами.

• Величину О2 называют- суммой квадратов отклонений внутри серии. Она характеризует остаточное рассеивание случайных по­грешностей опыта (одного прибора).

Метод анализа допускает следующую гипотезу: центры нормаль­ных распределений случайных величин равны (или равны с опре­деленной степенью точности), следовательно, все mn измерений можно рассматривать как выборку из одной и той же нормальной совокупности. Вычисляют критерий

(3.61)

78

Нетрудно видеть, что числитель и знаменатель критерия F представляют собой дисперсии а² для т и п наблюдений. В зависи­мости от значений K1= т — 1 и К2= m(п — 1) (числа степеней сво­боды) и вероятности Р (например, 0,95; 0,99 и др.) составлены таб­личные значения Fp. Если F =< Fp, то гипотеза удовлетворяется, т. е. в данном примере все приборы имеют одинаковые (допусти- мые) систематические ошибки. При F > Fp гипотеза не удовлетво­ряется.

Дисперсионный анализ называют многофакторным, если он имеет два и более факторов. Суть его не отличается принципиально от однофакторного, но усложняются выкладки и существенно увеличи­вается количество расчетов.

Очень часто применяют методы вероятностей и математической статистики в теории надежности, которая в настоящее время широко используется в различных отраслях науки и техники.

Под надежностью понимают свойство изделия (объекта) выпол­нять заданные функции (сохранять установленные эксплуатацион­ные показатели) в течение требуемого периода времени. Обеспечение надежности, исключение отказов (нарушения работоспособности) продукции стало одной из основных народнохозяйственных задач.

В теории надежности отказы рассматриваются как случайные события. Для количественного описания отказов применяют мате­матические модели — функции распределения вероятностей интер­валов времени. Наиболее часто применяют следующие законы:

нормального и экспоненциального распределения, Вейбулла, гам­ма-распределения.

Основной задачей теории надежности является прогнозирование (предсказание с той или иной вероятностью) различных показате­лей — безотказной работы, долговечности, срока службы и т. д. Она связана с нахождением вероятностей.

Для исследования сложных процессов вероятностного характера в последнее время (с 1950 г.) стали применять метод Монте-Карло. С помощью этого метода в настоящее время решают широкий круг задач, в которых ставят цель отыскать наилучшее решение из мно­жества рассматриваемых вариантов: отыскать наилучший вариант размещения баз» складов, предприятий; определить оптимальное количество автомобилей, обслуживающих экскаватор или смеси­тель; установить наилучшие параметры выпускаемой продукции;