3 (Конспект лекций), страница 11

З десь N—количество автосамосвалов в обращении k = 0, 1, 2, 3, .... N; (м—среднее количество рейсов за 1 час работы, м ==1/t1;P0 —вероятность простоя смесителя; у— среднее количе­ство самосвалов, находящихся под погрузкой в течение одного часа. Из этого уравнения вероятность простоя смесителя

3.72

Вероятность простоя каждого самосвала

(3.73)

Анализ показывает, что использование обычных методов расче­та автомобилей (3.70) приводит к тому, что смеситель используют не полностью (максимум до 75%), а простои под погрузкой дости­гают 10%.

С увеличением процента использования смесителя резко возрас­тает потребность в автомобилях. Поэтому для выбора оптимального соотношения в системе «смеситель — автосамосвалы» необходимо продолжить исследование по экономическому критерию.

В системном анализе используются методы теории игр, которая рассматривает развитие процессов как случайные ситуации. Теория игр — это математическая теория конфликтов. Конфликт заключает­ся в том, что интересы двух сторон не совпадают (борьба интересов) или стороны преследуют противоположные цели.

Примером конфликтной ситуации являются, например, все спортивные игры. Игрок выбирает такую совокупность правил пове­дения (стратегию), которая обеспечивает ему желаемый результат — выигрыш.

Как правило, теория игр рассматривает конфликтные ситуации, при которых приходится принимать решения с частичным или пол­ным отсутствием данных об обстановке. Поэтому могут быть и слу­чайные ходы, эффект которых можно оценить в среднем математиче­ским ожиданием. Результат игры оценивают количественными пока­зателями или условными числами: выигрыш + 1, ничья 0, проиг­рыш — 1.

Методы теории игр применяются не только для исследования в буквальном понятии конфликтных ситуаций, но и для решения за­дач, в которых, например, в качестве «противника» выступает при­рода. Такие задачи возникают при строительстве различных соору­жений, организации работ, организации транспортных процессов в сельском хозяйстве, метеорологии и др.

С помощью теории игр можно оценить наиболее благоприятные и неблагоприятные ситуации и на основе полученных данных при­нять оптимальное для данных условий решение. В теории игр важ­ное значение имеют понятия стратегии, под которым подразуме­вают правила поведения каждой стороны в ответ на действие другой стороны. Целью игры является обеспечение выигрыша.

89

Чаще применяют наиболее полно разработанную теорию парной игры с нулевой ничьей, когда исследуется задача с двумя противо­положными сторонами А и В. При этом одна сторона выигрывает все что проигрывает другая, т.е. сумма выигрышей равна нулю

Если допустить, что каждая из сторон придерживается оптимальных стратегии, то они могут рассчитывать на равновесный средний выигрыш, называемый ценой игры у. Решить игру, значит найти пару оптимальных стратегий для А и В и цену игры. Игру называют конечной, если стороны располагают конечным числом стратегии Так. если А имеет т стратегий, а В-n, то игра называется m х п. Игровую стратегию задают мат­рицей игры (табл. 3.3).

Таблица 3.3

В матрице помещают средние выигрыши с соответствующей па­рой стратегий. Например, а12— это выигрыш стороны А со стра­тегией A1B2. При любой страте­гии А сторона В стремится свести выигрыш А к минимуму aij. По­скольку имеет место множество стратегий, то сторона А находит такую стратегию, при которой максимальный выигрыш, т. е. определяются наиболее благоприятные условия игры для стороны А. Этот результат - максимальный выигрыш А при некотором противодействии B-а=mах х min аij (максимин) - называют нижней ценой игры. Такая стратегия всегда обеспечит стороне А выигрыш не ниже а. Аналогично для В существует минимальный проигрыш B==minmax aij. Величину В назы­вают минимаксом или верхней ценой игры. Обычно ведут расчеты по принципу минимакса (принципу «осторожности»), т. е. находят такую стратегию, когда сторона А получает наилучший результат а при наихудших действиях стороны В. Этот принцип является основ­ным в теории игр, он обеспечивает определенный запас в инже­нерных расчетах.

Игры, для которых а = B, имеют, по крайней мере, одно решение что возможно при условии полной информации, т. е. тогда когда каждая из сторон знает результаты всех предыдущих ходов своих и противника. Обычно а =/= B, это игры смешанных стратегий В этом случае выбор и оценку вероятности оптимальной стратегии произво­дят из множества стратегий методами линейного программирования па основе анализа стратегий составляют матрицу игры Исследуя матрицу, исключают заведомо нереальные стратегии и упрощают матрицы. Далее вычисляют а и B и определяют цену игры у которая находится в пределах а =< у =< B.

По значениям а, y., B устанавливают оптимальную стратегию.

90

Пример. Строительное управление планирует разработку грунта в зимний период. Имеется два варианта разработки, т. е. две стратегии: A1 -разработку грунта производить в мерзлом состоянии мощными землеройными машинами

А2 — разработку грунта производить менее мощными машинами, в не про­мерзшем состоянии, используя снег как уплотнитель, ограничивающий промерзание грунта на заранее установленную допустимую глубину.

В качестве противника выступает природа. Она имеет свою стра­тегию: B1— сильные морозы наступают после выпадания снега (грунт промерзает на небольшую глубину); B2—морозы наступают до выпадания снега (грунт сразу же промерзает на большую глуби­ну). В этой игре ценой будет экономический эффект.

На основе анализа климатических условий за прошлые годы задана матрица (табл. 3.4).

Таблица 3.4

Определим нижнюю и верхнюю цену игры: B==minmax (12,8) = 8; а = =max min(7.4) = 7. Поскольку а =/= Р, то принимаем сме­шанную стратегию. Для игр 2х2 задачу можно решить упрощен­ным способом.

Вначале рассмотрим случай, когда сочетание климатических условий наиболее благоприятно, т. е. при нижней цене игры а. В этом случае

Анализ показывает, что если бы природа придерживалась бла­гоприятной для строительной организации стратегии, то лучшим был бы вариант разработки промерзающего грунта (с учетом тепло­изоляции снега), так как наступают сильные морозы до выпадения снега лишь один раз в 9 лет.

Однако разумнее допустить иной вариант — природные условия сложатся неблагоприятно для строителей. В этом случае (при верх­ней цене игры Р) имеем

91

В этом наиболее неблагоприятном варианте в пяти зимах из де­вяти морозы наступают до выпадения снега. Поэтому оптимальной является такая стратегия, когда принимают производство работ в мерзлом грунте (без утепления снегом), чем создают необходимые резервы для успешного выполнения работ в любых климатических условиях.

Наиболее полно и глубоко можно выполнить системный анализ методами кибернетики, которая представляет собой науку о сложных динамических системах, способных воспринимать, хранить и пере­рабатывать информацию для целей оптимизации и управления. В настоящее время кибернетика и ее основное приложение — элек­тронно-вычислительная техника проникают во все области науки, техники и производства. Важнейшим понятием кибернетики как основы управления в природе и технике является понятие обратной связи, которая проявляется в отраженном влиянии на процесс его собственного действия. Методы кибернетик» тесно связаны со мно­гими общенаучными методами, поскольку, общенаучный характер закономерностей, принципов, средств и методов науки наиболее ярко выражен в кибернетике.

Выше были изложены основные математические методы исследо­вания. В каждом конкретном случае читатель более глубоко может ознакомиться с ними в специальной литературе.

Этап теоретических разработок научного исследования включает в себя следующие основные разделы: анализ физической сущности процесса, явлений; формулирование гипотезы исследования, по­строение, разработка физической модели; проведение математиче­ского исследования; анализ теоретических решений, формулирова­ние выводов.

Может быть принята и другая структура теоретической части исследования, например, если не удается выполнить математиче­ское исследование, то формулируют рабочую гипотезу в словесной форме, привлекая графики, таблицы и др. Однако в технических науках, в том числе и строительной, необходимо стремиться к приме­нению математизации выдвинутых гипотез и других научных выводов.

92