3 (Конспект лекций), страница 6

трубок и узлов. Изучаемые постоянные и переменные величины моделируются напорами, уровнями и расходами воды в сосудах.

Интегратор состоит из множества узлов т (рис. 3.7). В каждом таком узле баланс воды равен

(3.29)

где Smi— площадь сечения сосуда; hi...hm— уровни воды в сосудах;

Рi— гидравлическое сопротивление (разность напора для пропуска единичного расхода); qi—расход воды.

При постоянном уровне воды в сосуде hi или постоянстве площади этого сосуда имеет место

(3.30)

65

Если задано hi в начальный момент времени Т = 0, определение функции

имеет целью интегрирование уравнения (3.29), т. е.

регистрацию напоров и уровней воды на гидроинтеграторе. Для частного случая (3.30) интегрирование сводится к решению алгеб­раических выражений на гидроинтеграторе.

Если имеется несколько узлов N, то решение системы с N урав­нений переноса тепла, влаги, вещества на гидроинтеграторе сводится к наблюдению уровней воды в сосудах.

Параметры уравнений можно сравнительно просто изменять, меняя на гидроинтеграторе число узлов, сечение сосудов, гидравли­ческие сопротивления, расходы воды. Очень легко задавать различ­ные начальные и граничные условия, изменяя начальные уровни воды в сосудах.

Метод гидравлического моделирования позволяет решать различ­ные задачи: стационарные и нестационарные: одно-, двух и трехмер­ные; с постоянными и переменными коэффициентами; для однород­ного или неоднородного поля; т. е. является универсальным. Он широко применяется при решении различных задач в области строи­тельства: расчете температур и напряжений в различных конструк­циях зданий и сооружений; анализе процесса увлажнения и влаго-накопления в основаниях зданий, дорог и т. д.; анализе процессов деформирования и разрушения конструкций; оценке температур­ного поля при пропаривании железобетонных изделий; определении физико-тепловых характеристик материалов и конструкций; расчете теплового режима зданий, дорог и других сооружений при климати­ческих воздействиях для изучения фильтрации воды в гидротехни­ческих сооружениях; расчете промерзания грунтов полотна и осно­ваний сооружений и в других случаях.

Данный метод характеризуется доступностью программирования, простотой решения сложных задач, хорошей наглядностью проте-каемых процессов, достаточно высокой точностью расчетов, возмож­ностью остановить и повторить процесс на модели. Однако оборудо­вание для этого метода громоздко, выпускается пока в ограниченном количестве¹.

Теория подобия — это учение о подобии явлений. Она наиболее эффективна в том случае, когда на основе решения дифференциаль­ных уравнений зависимости между переменными отыскать невоз­можно. Тогда необходимо произвести предварительный эксперимент и, воспользовавшись его данными, составить с применением метода подобия уравнение (или систему уравнений), решение которого мож­но распространить за пределы границ эксперимента. Этот метод тео­ретического исследования явлений и процессов возможен лишь на основе комбинирования с экспериментальными данными.

Суть теории подобия рассмотрим на простом примере. Пусть имеется ряд прямоугольников. Это класс плоских фигур, поскольку

Расчет физических полей методами моделирования. Под ред. Л. А. Лю-стерника и Б. А. Волынского. М., «Машиностроение», 1968. 428 с.

они объединены общими свойствами — имеют по четыре стороны и четыре прямых угла. Из этого класса можно выделить только еди­ничную фигуру, которая имеет конкретное значение сторон /1 и /2.Численные значения /1 и l2 определяют условия однозначности. Если стороны /1 и /2 умножать на величину KlС/, которой можно придать любое значение, то получим серию подобных плоских фигур, объ­единяемых в определенную группу:

(3.31)

Величины Кl называют критериями подобия. Такой способ приведения подобия применим не только для плоских, объединенных фигур, но и для различных физических

величин: времени

давлений

вязкостей

Kм

температуропроводности и т. д.

Критерии подобия создают внутри данного класса явлений груп­пы путем преобразования условий однозначности в подобные систе­мы. Все явления, входящие в одну группу, подобны и отличаются только масштабами. Таким образом, любое дифференциальное урав­нение характерно для класса неподобных явлений. Это же уравнение с граничными условиями и критериями подобия характерно лишь для группы подобных явлений. Если граничные условия представ­лены без критерия подобия, то дифференциальное уравнение можно применить для анализа лишь частного случая.

Теория подобия базируется на трех теоремах.

Теорема 1 (М. В. Кирпичева и А. А. Гухмана). Два физические явления подобны, если они описываются одной и той же системой дифференциальных уравнений и имеют подобные (граничные) усло­вия однозначности, и их определяющие критерии подобия — численно равны.

Теорема 2. Если физические процессы подобны, то критерии подобия этих процессов равны между собой.

Теорема 3. Уравнения, описывающие физические процессы, могут быть выражены дифференциальной связью между критериями по­добия.

В группе подобных между собой явлений, отличающихся только масштабом, можно распространять результаты единичного экспери­мента.

При использовании теории подобия удобно оперировать крите­риями подобия, которые обозначаются двумя латинскими буквами фамилий ученых.

Рассмотрим некоторые критерии подобия.

Изучая потоки жидкостей, применяют критерий Рейнольдса

(3.32)

67

где v — динамическая вязкость; w — скорость движения; l — рас­стояние, толщина, диаметр трубопровода.

Критерий Re является показателем отношения сил инерции к силам трения.

Критерий Эйлера

(3.33)

Здесь Ар — период давления при движении жидкости в трубо­проводе вследствие трения; р.— плотность.

В тепломассопереносе применяют различные критерии. Критерий Фурье

(3.34)

где а — коэффициент температурo-- или влагопроводности; Т — время; l—характерный размер тела (длина, радиус).

Этот критерий характеризует скорость выравнивания тепла в данном теле.

Критерий Лыкова

(3.35)

Здесь а, а1—коэффициенты тепло- и массопереноса. Данный критерий характеризует интенсивность изменения мас­сопереноса (влаги, пара) относительно теплопереноса. Он изменя­ется в широких пределах (от 0 до 1000). Критерий Кирпичева

(3.36)

q(T) — поток тепла.

Этот критерий характеризует отношение потока тепла, подводи­мого к поверхности тела, к потоку тепла, отводимого внутрь тела.

Все приведенные, а также другие критерии имеют безразмерный вид. Они независимы друг от друга, поэтому их сочетание дает новые критерии.

При исследовании явлений и процессов удобно использовать критерии подобия. Экспериментальные данные обрабатывают в виде обобщенных безразмерных переменных и составляют уравнения в критериальной форме, т. е. в дифференциальные уравнения вместо переменных l, a, t, q и т. д. ставят критерии подобия. Далее присту­пают к решению теоретического уравнения в критериальном виде. Полученное аналитическое решение позволяет распространить ре­зультаты единичного опыта на группу подобных явлений и анали­зировать переменные величины за пределами эксперимента.

Критерии подобия применяются и для решения дифференциаль­ных уравнений со многими переменными. В этом случае уравнения

68

и граничные условия целесообразно представлять в критериальном безразмерном виде, хотя это иногда и нелегко. Решение уравнений в безразмерном виде менее трудоемко, поскольку число переменных уменьшается, анализ аналитических выражений упрощается, а объем расчетов существенно снижается. Все это упрощает составление гра­фиков и номограмм. Поэтому умение составлять дифференциальные уравнения в критериальном виде, решать их. и анализировать пред­ставляет большой интерес для научного работника.

В ряде случаев встречаются процессы, которые не могут быть непосредственно описаны дифференциальными уравнениями. За­висимость между переменными величинами в таких процессах в ко­нечном счете можно установить лишь экспериментально. Чтобы ограничить эксперимент и отыскать связь между основными характе­ристиками процесса, эффективно применять метод анализа размер­ностей, который сочетает теоретические исследования с эксперимен­тальными и позволяет составить функциональные зависимости в критериальном виде.

Пусть известна в общем виде функция F для какого-либо слож­ного процесса

F = f(n1, n2,, •••, nk), (3.37)

содержащая п неизвестных постоянных или переменных размерных величин. Необходимо отыскать F и найти ее зависимость от основ­ных переменных.

Значения n1, ..., nk имеют определенную размерность единиц измерения. Метод размерностей предусматривает выбор из числа k трех основных независимых друг от друга единиц измерения. Осталь­ные k—3 величины, входящие в функциональную зависимость (3.32), должны иметь размерности, выраженные через три основные. При этом основные величины выбирают так, чтобы остальные k—3 были представлены в функции F как безразмерные, в критериях подобия.

При этом функция (3.32) принимает вид

(3.33)

Три единицы означают, что первые три числа являются отноше­нием n1, n2, ^пn3 ^к соответственно равным значениям а, Ь с.

Выражение (3.33) анализируют по размерностям величин. В ре­зультате устанавливают численные значения показателей степени x...x3, у...у3, z…zз ^и определяют критерии подобия.

Например, при обтекании опоры моста водой со скоростью V (м/сек) на поверхность площадью 5 (м²) действует сила F0 (кгс). Плотность воды р (кгс-се^2/м^4).

Функциональную зависимость можно записать так: