Занятия 7–8. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа и ортогональным преобразованием (Семинары по линейной алгебре)

Занятия 7–8. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа и ортогональным преобразованием. Приведение кривых второго порядка к каноническому виду.

Пусть в некотором базисе выражение для квадратичной формы имеет вид

(2)

Тогда выражение (2) называется каноническим видом квадратичной формы. В частности, если λ_i = ±l, 0, i = 1, 2, ..., n, то получаем нормальный вид квадратичной формы А(x, x).

Для всякой квадратичной формы существует такой базис B', в котором она имеет канонический (и даже нормальный) вид.

Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Метод Лагранжа выделения полных квадратов. Пусть квадратичная форма А(x, x) в базисе B имеет вид (1, занятие 6). Если все коэффициенты а_ij (при квадратах ), i = l, 2, ..., п равны нулю и в то же время форма не равна тождественно нулю, то отлично от нуля хотя бы одно произведение, например 2а₁₂х₁х₂. Выполним преобразование базиса, при котором координаты векторов в старом и новом базисах связаны формулами

Тогда , и так как, по пред­положению, а₁₁ = а₂₂ = 0, то коэффициент при отличен от нуля. Таким образом, всегда найдется такой базис B, в котором в записи (1, занятие 6) хотя бы один коэффициент при квадрате отличен от нуля. В дальнейшем считаем, что . (Если , то отличен от нуля коэффициент при квадрате какой-нибудь другой координаты, и к рассматриваемому случаю можно прийти, иначе занумеровав векторы e₁, ..., e_n, что также является некоторым преобразованием базиса.)

Рассмотрим часть квадратичной формы, содержащую х₁, т. е.

дополним эту сумму до полного квадрата:

где γ есть алгебраическая сумма членов, не зависящих от x₁. Если теперь сделать замену

то квадратичная форма в новом базисе примет вид

В полученной форме выделено слагаемое , а оставшаяся часть A₁ является квадратичной формой в L_n − 1. Далее рассуждения повторяются для квадратичной формы А₁(х, x) и т.д.

Пример 1. Методом Лагранжа привести к каноническому виду квадратичную форму

1-е преобразование: x₁ = x'₂, x₂ = x'₁, х₃ = х'₃. Тогда получим

2-е преобразование: x''₁ = −x'₁ + x'₂, x''₂ = x'₂, х''₃ = х'₃. Получим новое выражение для квадратичной формы:

3-е преобразование: x'''₁ = x''₁, x'''₂ = x''₂ + 2x''₃, х'''₃ = х''₃, и форма принимает канонический вид:

При этом x'''₁ = x₁ − x₂, x'''₂ = x₁ + 2x₃, х'''₃ = х₃.

Метод собственных векторов. Будем рассматривать квадратичную форму (1, занятие 6) в евклидовом пространстве Rⁿ. Так как ее матрица А = (а_ij) симметрична, то она может быть представкой в виде A = UDU^T, где D − диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа матрицы A, a U − ортогональная матрица. Столбцы матрицы U являются координатами некоторого ортонормированного базиса B = (e₁, ..., e_n), в котором матрица А имеет диагональный вид D, и, следовательно, квадратичная форма − искомый канонический вид. Соответствующее преобразование координат определяется соотношением

Пример 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму , заданную в евклидовом пространстве R³, к каноническому виду. Написать этот канонический вид.

Матрица квадратичной формы имеет вид:

Собственные числа этой матрицы суть λ₁ = 3, λ₂ = 6, λ₃ = 9. Соответствующие ортонормированные собственные векторы:

e'₁ = (2/3, 2/3, −1/3), e'₂ = (−1/3, 2/3, 2/3), e'₃ = (2/3, −1/3, 2/3),

и следовательно,

В базисе B' = (e'₁, e'₂, e'₃) заданная квадратичная форма имеет вид , а соответствующее преобразование ко­ординат: , ,

Кривые и поверхности второго порядка. Гиперповерхностью второго порядка в евклидовом пространстве Rⁿ называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

(3)

где в левой части стоит многочлен второй степени от п переменных x₁, x₂, ..., x_n.

Множество точек плоскости R², удовлетворяющих уравнению (3), называется кривой второго порядка. Каноническое уравнение может принимать один из следующих видов (в переменных x, у):

1)  ; 2)  ; 3) 

Задачи:

Методом Лагранжа найти нормальный вид и невырожденное линейное преобразование, приводящее к этому виду, для следующих квадратичных форм:

4.210. .

4.211. .

Найти ортогональное преобразование, приводящее следующие формы к каноническому виду, и написать этот канонический вид:

4.213. .

4.215. .

В задачах 4.226−4.231 написать каноническое уравнение кривой второго порядка, определить ее тип и найти каноническую систему координат.

4.226. .

4.228. .

4.231. .

Домашнее задание: 4.212, 4.214, 4.216, 4.227, 4.229, 4.230

4.212. .

4.214. .

4.216. .

4.227. .

4.229. . 4.230. .

Ответы