Ещё одна шпаргалочка

УСЛОВИЯ БОРНА-КАРМАНА И ТЕОРЕМА БЛОХА В МОДЕЛИ КРОНИГА-ПЕННИ БЛОХОВСКИЕ ФУНКЦИИ.

П о усл-ю Борна-Кармана: Волн. ф-и периодические с периодом L:

Тогда потенц. эн-я в ур-и Шредингера тоже будет периодической ф-й , причем . Период L- длина бесконечного одномерного тв. тела, N-число элементарных ячеек в нем.

Тогда уравнение Шредингера имеет вид:

.

Любая собственная ф-я оператора является собственной ф-й оператора , и наоборот, т.е. при отыскании собственных ф-й оператора (решении приведеню ур-я Шредингера) предположим, что они уже являются собствю функциями .

, - периодическая ф-я с периодом .

Докажем.

, т.к. .

– константа распространения, где (N-четное). Т.к. , то , где -периодическая ф-я с периодом . Действительно, . Таким образом доказана теорема Блоха:

Любую стационарную функцию бесконечной модели Кронига-Пенни с условием Борна-Кармана можно представить в виде , в которой - периодическая функция с периодом , для которой и константа распространения , где g- одно из чисел последовательности ; предлагаем, что - целое четное число.

Замечания: 1) Из теоремы Блоха непосредственно следует, что реш. ур-я Шредингера для бесконечной модели Кронига-Пенни с усл-ем Борна-Кармана с периодом можно искать в виде ф-й, удовлетвор. условию , в котором - некоторое зн-е константы распространения из приведённой посл-ти. Это условие называется "условием Блоха", т. е. существует N различных ветвей решений уравнения Шредингера. 2) Зн-е числа в формуле не задаёт однозначно тип отыскиваемого решения уравнения Шредингера. Тип решения однозначно характ. не зн-ем константы , а значением комплексной экспоненты . По заданному значению экспоненты константа распространения может быть найдена только с точностью до добавления к ней любого целого кратного числа …

Действительно, если вместо константы взять константу , где – произвольное целое число, то , так как . Если константу представить в виде , где - целое число, то получим формулу . 3) Из того, что ф-я является решением ур-я Шредингера для бесконечной модели Кронига-Пенни с периодическим потенциалом V(x) с периодом , не следует, что эта ф-я тоже периодична с периодом . Только при усл-е Блоха, которое вып. всегда, сводится к усл-ю периодичности ф-и . Константа распространения задает тип (сорт) решения для модели Кронига-Пенни с условием Борна-Кармана.

Блоховские функции

– стационарная блоховская функция.

– временная бл ф-я.

Рассмотрим Б ф-и в предельном случае отсутствия потенц. барьеров между ямами (при ). Тогда Бф – решения уравнения Шредингера , т.е. собственными функциями нулевого гамильтониана , удовлетворяющими условию Борна-Кармана и условию Блоха . Решения нулевого уравнения Шредингера имеют вид , ,

Убедимся, что приведенные функции удовлетворяют условию Блоха. Т.к. , то , , .

, т.к. .

Докажем, что – имеет вид блоховской функции. , где - периодическая .

При временная волновая блоховская функция при и большом будет волной де Бройля

ВЫВОД ТРАНСЦЕНДЕНТНОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭНЕРГИЙ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ В МОДЕЛИ КРОНИГА-ПЕННИ ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЕГО В СЛУЧАЕ СИЛЬНОЙ СВЯЗИ.

Рассмотрим произв. элементарную ячейку, занимающую интервал Λj≤x≤Λ(j+1), где j – индекс элементарных ячеек.

Н а интервале построим кусок решения стац. ур-я Шредингера, рассм. на всей прямой x и удовлетворяющего условию Блоха , при некотором заданном знач-и const распространения , (N – четное).

Внутри ямы (область 1) ур-е Шр. , .

Внутри барьера (2) , .

Из условия Блоха

Из треб-я непр-ти реш-я и перв. произв-ой на границе:

. Ищем : , Тогда .

Для нетривиального решения

Таким образом приходим к трансцендентному уравнению…

, из которого найдем значения энергий

поэтому

Трансцендентное уравнение Кронига-Пенни

.

Случай сильной связи . , разность соседних дискр. знач. равна , где большое.

Решение транс.ур-я имеет вид , где , n=1, 2, … - один из уровней эн-и, а - малая поправка.

Пусть , где , тогда

Так как , то , тогда , .

При ,

Из транс.ур. получаем

.

П оправка завис. от , причем при она одинакова происходит расщепление уровня на отдельных двукратно вырожд. уровней всего стационарных сост-й эл-а, энергии которых сливаются и становятся равными .

Н а риc - два самых низких интервала спектра при и при . Полный спектр имеет бесконечное число таких интервалов. Характ. особ. найденного спектра является его "зонная" стр-ра. Это означает, что допустимые знач-я эн-й стац. сост-й характ. отд. интервалами эн-й при , и т. д., плотно занятыми энерг. уровнями.

МОДЕЛЬ КРОНИГА-ПЕННИ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ЭЛЕКТРОНОВ. УРОВЕНЬ ФЕРМИ, ВАЛЕНТНАЯ ЗОНА И ЗОНА ПРОВОДИМОСТИ. ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ.

С-у св. эл-ов тв. тела считаем идеальной, т. е. полностью пренебрегаем отталкивающими кулоновскими взаимодейств. эл-ов друг с другом.

Р ассмотрим модель Кронига-Пенни при 0 температуре, считая, что в каждой яме находится по одному электрону.

При объед. N невзаимод. ям в одномерное тв. тело получаем в кач-ве ур-ней энергии отд. эл-ов в твёрдом теле уровни энергии отд. потенциальной ямы. В тв. теле эти уровни N- кратно вырождены. Если потенциальные ямы независимы (при ), то при 0 температуре каждый эл-н будет наход. в своей яме в осн. сост-и . При между потенц. ямами имеется связь, и поэтому каждый уровень отдельной изолированной потенц. ямы, в том числе и рассматриваемый основной, расщеплён на N отдельных уровней.

Тогда, с учётом принципа запрета Паули, при 0 температуре N эл-ов должны располагаться на уровнях осн. зоны, причём на каждом уровне будет находиться по два эл-а (с учётом двух спиновых сост-й эл-а для каждого стационарного состояния, полученного при решении уравнения Шредингера).

Таким образом, при 0 температуре в осн. энергетической зоне окажутся занятыми электронами нижние N/2 уровней зоны.

Верхний граничный заполненный уровень называется уровнем Ферми и обозначается .

При наложении на одномерное тв. тело вн. эл. поля это поле начнёт сообщать эл-ам энергию и переводить их на энерг. диаграмме из сост-й, близких к энергии , в сост-я, тоже близкие к эн-и , но большие их по эн-и. Эти переходы могут осуществляться, однако, только в близкие энерг. Сост-я, так как созд. в тв. телах макроскопические эл. поля слабые.

Такие близкие энерг. cост-я (вблизи уровня Ферми ) существуют, поэтому эл. ток в данном тв. теле создать можно, т. е. это металл.

Модель Кронига-Пенни при 0 температуре, когда в каждой яме находятся по 2 эл-а. В случае отсутствия взаимод-я между потенциальными ямами (при ) на осн. уровне каждой ямы будет 2 электрона.

При наличии взаимодействия потенц. ям уровни отд. ямы расщепятся в энерг. зоны, состоящие из N отдельных дискретных уровней каждая.

С учётом принципа Паули 2N эл-в при 0 температуре займут

в се имеющиеся для них N сост-й осню энерг. зоны.

Наложенное на одномерное тв. тело внешн эл. поле теперь не сможет ускорять эл-ны, т.к. вблизи верхней границы полностью заполненной зоны нет энерг. ур-ней для эл-ов (здесь начинается запрещённая зона). Достижимые в эксп-ах макроскопические эл. поля малы по сравнению с микроскопическими атомными полями.

Тогда возбудить эл. ток нельзя - диэлектрик. Т.е. все кристаллические тв. тела при 0 температуре должны быть либо идеальными диэлектриками, либо металлами.

П равило: Если элемен. ячейка кристалла содержит чётное число эл-ов, кристалл - диэлектрик. Если его элемент. ячейка содержит нечётное число эл-ов - металл.

Энерг. схема уровней в зоне для модели Кронига-Пенни.

Последняя энерг. зона, полностью заполненная эл-ми, называется "валентной зоной".

Первая энергетическая зона, полностью свободная от эл-ов, называется "зоной проводимости".

Попавшие в эту зону из валентной зоны электроны в результате тепловых флуктуации становятся носителями электрического тока.

СИСТЕМА СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ МЕТАЛЛЕ. ФУНКЦИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ПЛОТНОСТИ ОДНОЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ. ФОРМУЛА СВЯЗИ ЭНЕРГИИ ФЕРМИ С КОНЦЕНТРАЦИЕЙ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ ПРИ НУЛЕВОЙ ТЕМПЕРАТУРЕ.

Рассмотрим с/у из N не взаимодейств. друг с другом эл-ов, находящихся в куб. ящике объема . Т.е. эл-ы находятся в куб. трехмерной потенциальной яме, так что потенциальная эн-я одного эл-а . Пусть с/а не изолирована и может обмениваться теплом и эл-ми с окружением неизменной температуры T и хим. потенциалом .

Для такой с/ы в равновесном сост-и справедливо распределение Ферми-Дирака , где – среднее число электронов на одну элементарную ячейку с энергией . Рассмотрим хим. потенциал – функцию от концентрации электронов и температуры. При : - энергия Ферми, которую обозначим ,

Рассмотрим во что переходит распределение Дирака при

1 ) при

2) при